matrice de O(2), O(3), SO(2), SO(3)

[inviteb2e5d022]

bonjour,
je souhaiterais savoir comment à partir d'une matrice on peut en deduire la tranformation geometrique qui correspond.
par exemple si j'ai
1/3 (1,2,2)
1/3 (2,1,-2)
1/3(2,-2,1)
et qu'on me demande de chercher la transformation geometrique correspondante, comment dois je m'y prendre?
-----

[invite371ae0af]

je n'ai pas compris c'est:
(1/3)A avec
A=
1 2 2
2 1 -2
2 -2 1

[inviteb2e5d022]

a oui pardon je me suis mal exprimée
oui c'est (1/3)A

[Amanuensis]

Chercher les valeurs propres.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb2e5d022]

les valeurs propres sont forcement -1 ou 1 puisqu'il s'agit d'une matrice orthogonale

[Amanuensis]

Chercher les valeurs propres n'est pas seulement savoir si elles appartiennent à tel ensemble. C'est aussi savoir combien de chaque valeur.

S'il y en trois à 1, c'est l'identité. S'il y en a trois à -1, ce n'est pas l'identité !!! Et il y a d'autres cas, évidemment.

[invitea07f6506]

Pour commencer, les valeurs propres d'une matrice orthogonale sont de module , mais ne sont pas forcément ou . Par exemple, la matrice dans la base canonique d'une rotation d'angle $\theta$ autour de l'axe vertical:



a pour valeurs propres , et . Cependant, dans ton cas, la matrice (appelons-la ) est de plus symétrique, ce qui implique que toutes les valeurs propres sont réelles. En ajoutant la condition sur le module, on obtient qu'effectivement, les valeurs propres valent ou . Reste à savoir combien de chaque. Si toutes les valeurs propres valaient , la matrice serait l'identité (j'utilise ici l'orthogonalité, qui implique qu'il n'y a pas de bloc de Jordan non trivial). De même, si toutes les valeurs propres valaient , alors la matrice serait moins l'identité, ce qui géométriquement correspond à une symétrie centrale autour de l'origine. Il ne reste que deux cas : a une multiplicité de deux et de une, ou l'inverse. La trace étant la somme des valeurs propres, on en déduit que l'on est dans le premier cas : a une multiplicité de deux et de une.

On peut donc trouver une base orthonormale de telle que , et . Il s'agit donc d'une réflexion orthogonale. Reste à calculer des vecteurs propres pour trouver par rapport à quel plan...

[Amanuensis]

Annulé................

[invite06b993d0]

Pour commencer, les valeurs propres d'une matrice orthogonale sont de module , mais ne sont pas forcément ou .

mais là la matrice est symétrique.

[invitea07f6506]

Je préfère qu'on lise mes messages avant de les critiquer. Merci.

[invite371ae0af]

pour une projection orthogonale: et A²=A

pour une symétrie orthogonale: et A²=I

si det A=1 et alors c'est une rotation
si det A=-1 et alors c'est une symétrie orthogonale

pour déterminer ses transformations( je met à part la projection orthogonale), il faut déterminer l'ensemble des vecteurs invariants et pour la rotation l'angle aà partir de la matrice d'une rotation dans une base orthonormée directe:
cos a -sina 0
sina cosa 0
0 0 1

puis savoir que deux matrice semblables on même traces: trA=2cos(a)+1


pour la projection orthogonale:
cherche la direction de la projection c'est-à-dire kerA
puis la base de la projection qui est ImA=(kerA) orthogonal



à présent pour ta matrice tu as et A²=I

c'est donc une symétrie orthogonale
reste à chercher l'ensemble des vecteurs invariants

[invite371ae0af]

pour déterminer les vecteurs invariants; tu dois résoudre le système
x+2y+2z=3x
2x+y-2z=3y
2x-2y+z=3z