Développement de Taylor

[invited03209ae]

Bonjour

Pouvez vous m’expliquer à quoi sert le théorème de Taylor, en théorie et si possible techniquement ^^ ?

merci biennn
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[inviteea028771]

En gros le théorème de Taylor permet de transformer une fonction suffisamment régulière en polynôme + reste

C'est le support théorique aux développements limités, qui sont utiles pour calculer des limites.

Par exemple pour calculer la limite de quand x tend vers 0. Ça parait difficile de le faire "naturellement"

Avec le théorème de Taylor, on sait que :





Donc on a :


Et ça, ça tend joyeusement vers 1/2.

Ça n'est pas la seule utilité du théorème de Taylor, mais c'est la plus fréquente.
Une autre utilité, c'est de permettre de faire des majorations, par exemple, pour calculer la vitesse de convergence de la méthode de newton (en calcul numérique). En effet, les formules de Taylor Lagrange ou avec reste intégral permettent d'estimer le reste.

[invited03209ae]

Je vois mais je n'ai pas comprit la dernière étapes ou vous faite apparaître le 1/2, pouvez vous m'expliquer à quoi correspond le O(...) du développement limité et comment travaillez vous avec ?

merci infiniment

[invited03209ae]

comment savoir de quel rang on s arrête dans le développement limité ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefd754499]

Je vois mais je n'ai pas comprit la dernière étapes ou vous faite apparaître le 1/2, pouvez vous m'expliquer à quoi correspond le O(...) du développement limité et comment travaillez vous avec ?

merci infiniment

Bonjour,

La dernière étape consiste juste en une division par x², et la mise en facteur du 1/2.
Le "o" signifie "négligeable devant", c'est à dire par exemple que x² tend plus vite vers 0 que x, donc on peut le négliger en faisant cette approximation.

comment savoir de quel rang on s arrête dans le développement limité ?

Ca dépend. Des fois, c'est précisé dans l'exercice, des fois, il faut essayer et voir ce qui convient, quitte à recommencer un cran plus loin...

Cordialement,

[invited03209ae]

Merci pour ces précieuses explications