Théorème de Birkhoff et démonstration

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Bonjour,

J'ai actuellement un problème dans la démonstration du Théorème de Birkhoff du livre de Pollicott & Yuri (Dynamical Systems and ergodic theory, chapitre 10.2). La preuve n'est pas la preuve "standard", et il montre d'abord le résultat pour une mesure ergodique.

Soit un espace probabilisé, et une transformation ergodique.

Il se restreint aux fonctions f d'intégrale nulle, et défini, pour l'ensemble



Le théorème de Birkhoff est alors équivalent à pour tout

Bon, ça c'est l'introduction. Le problème vient dans la démonstration d'un lemme :

Lemme :

Demo du Lemme :

On note et les parties positives et négatives de f ( ) et on défini pour tout deux ensembles :





Et ensuite, il indique "en minorant ou par 0 ou de façon appropriée", on observe, pour tout et pour tout les inégalités suivantes :





Et là, j'ai beau tourner le bidule dans tout les sens, je ne vois pas d’où sort cette minoration. Enfin, précisément, le rapport entre

et

Si quelqu'un avait des précisions là dessus, ça m'arrangerai pas mal. Sinon, c'est pas grave, j'utiliserai une démonstration plus classique (par le lemme ergodique maximal)

Merci d'avance.
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