Bonjour,
J'ai actuellement un problème dans la démonstration du Théorème de Birkhoff du livre de Pollicott & Yuri (Dynamical Systems and ergodic theory, chapitre 10.2). La preuve n'est pas la preuve "standard", et il montre d'abord le résultat pour une mesure ergodique.
Soitun espace probabilisé, et une transformation
ergodique.
Il se restreint aux fonctions f d'intégrale nulle, et défini, pourl'ensemble
Le théorème de Birkhoff est alors équivalent àpour tout
Bon, ça c'est l'introduction. Le problème vient dans la démonstration d'un lemme :
Lemme :
Demo du Lemme :
On noteet
les parties positives et négatives de f (
) et on défini pour tout
deux ensembles :
Et ensuite, il indique "en minorantou
par 0 ou
de façon appropriée", on observe, pour tout
et pour tout
les inégalités suivantes :
Et là, j'ai beau tourner le bidule dans tout les sens, je ne vois pas d’où sort cette minoration. Enfin, précisément, le rapport entre
et
Si quelqu'un avait des précisions là dessus, ça m'arrangerai pas mal. Sinon, c'est pas grave, j'utiliserai une démonstration plus classique (par le lemme ergodique maximal)
Merci d'avance.
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