opérateur différentielle

[invite0731164c]

Bonjour,

Je ne comprend pas tout a fait la différentielle en mathématiques.

Si j'ai bien compris, la différentielle en est une fonction définie par
ou en notant on a

Donc en particulier on a au premier ordre et d'autre part (d'après la définition de la limite)

Voici alors mes questions (ça me perturbe pas mal):

On a ou ici est simplement la notation de Leibniz pour alors que le était un rapport de différentielles.

On utilise la même notation pour deux choses différentes?
.
(ii)Est ce que dans l'intégral le dt est (au sens ou je l'entends et comme je les explicité au dessus) une différentielle?

=>Si oui : pouvez-vous m'expliquer
=>Si non: pouvez-vous m'expliquer

Merci d'avance
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[invitea8d03b1e]

A mes minces connaissances OUI...

et l'opérateur de Liebniz demeure ++pratique,
contrairement à celle de Newton qui reste aussi pratique pour les eq.diff. sur des fonctions paramètriques (les points en "chapeau" sur les fonctions dépendante en générales d'un paramètre.... Historiquement: Le temps (t))...

Cette notation est très puissante, mais il demeure que les conditions de dérivabilité, continuité, dépendante des conditions de l'opérateur "limite" d'une fonction.

Tout ceci, donc, en gardant à l'esprit, l'applicabilité de la limite (à gauche et à droite), la continuité, etc.

Sinon on tombe dans l'intégration de Lesbegue (par exemple), avec les "Tribus", les sigma-algèbre, le cousin à Emile Borel et sa Théorie de la mesure. Etc. Mais tout ceci me dépasse

:: J'espère que quelqu'un y répondra mieux (j'apprends aussi).

OUI: /!\ c'est une notation. (Qui s'étends +tard vers la différentiation "partielle" ...)

http://fr.wikipedia.org/wiki/Notation_de_Leibniz
http://fr.wikipedia.org/wiki/Histoir...Newton.2C_1669
Newton parle de fluxion et est "imbitable" dans ses démonstrations...
:: Qui sémonce plairement, s'escrime Thèse et ment.

[invitea8d03b1e]

J'oubliais,

Exemple de "puissance" de la notation de Liebniz...

• d(uv) = udv + vdu

D'où l'on tire facilement la Formule de Taylor (par exemple)...

autre...

• dy/dx = 1/(dx/dy), avec x et y fonctions quelquonques dérivables...

Elle est pas belle la vie ?

[invite76543456789]

Salut!
Je suis pas sure que donner comme reference Newton ou Liebniz (qui sont mort depuis plus de 3 siecles!) soit une bonne idée.

La differentielle est un objet plus compliqué que la dérivée (meme si c'est peu ou prou la meme chose pour les fonctions de R dans ce que tu veux). Voici une approche simple.

La differentielle de f c'est une fonction de DEUX variables x et dx.

Ainsi df(x_0) est une fonction d'une variable, notée dx, définie par df(x_0).(dx)=f'(x_0).dx.

Autrement dit df(x_0) est une application linéaire, cette application c'est la mutiplication par f'(x_0), ou dit encore autrement à dx elle associe f'(x_0)dx.

Tu as par definition f(x)-f(x_0)=df(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0)=f'(x_0).(x-x_0)+o(x-x_0).

Ceci devrait repondre a la premiere partie de ton questionnement.

Pour le ii) oui ce qu'on intègre naturellement ce sont des (formes) differentielles, mais si tu ne sais pas ce que c'est tu peux considerer que le dt, est juste une notation, pour indiquer ce sur quoi on intègre.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0731164c]

Donc si j'ai bien compris :

ou

c'est juste? (si on est pas au premier ordre)

[invite76543456789]

Ces quantités ne sont pas egales non.

[invitea8d03b1e]

Je sèche...

j'ai pas fais MathSup moi

Mais lorsque vous parlez de "premier ordre",
cela fait-il référence aux DL (Développement Limité) ?

Notamment: O(abs(sq(x-x_0))) que je suppose être un résidu d'ordre 1 au voisinage de x_0 (?)

Hum... difficile de parler de la [Notation de Liebniz] sans parler de Liebniz ? et donc de parler de son concurrent préféré Sieur Newton qui avait ses propres notations. En math.sup. on ne s'intéresse pas aussi un peu à l'histoire ? (je me sens complètement hors-époque ...c'est pas important... )

Je dois revoir la question de la différentielle revue comme une fonction de deux variables. Là je sèche grave! Mais ça va me revenir. J'adore trop les maths - autodidacte - (dure dure être BB)

Je bois vos paroles

[invite0731164c]

et donc si le prof de physique écrit le dr ici n'est pas une différentielle n'est-ce pas?

[inviteea028771]

Toujours se méfier des notations des physiciens

Ici effectivement, pour que ce soit une différentielle, il manque un terme d'erreur (et aussi le fait que la notation soit ambigüe : dr est il un scalaire, une fonction de la variable dt, une fonction des variables t et dt? )

Personnellement, je préfère voir les choses de façon générale : la différentielle d'une fonction au point a est (quand elle existe) une application linéaire continue telle que



Dans le cas ou E et F sont de dimensions finies, est une matrice (La jacobienne de f au point a)


Et sinon, dans le cas de l'intégrale, le dt est le plus souvent une notation.