Applications linéaires et polynômes

[invite90e44d75]

Bonjour,

J'ai un DM à faire mais je bloque. Je dois vérifier que ces 3 applications (de R[X] dans R[X]) sont linéaires :
1) P(X) P'(X)
2) P(X) XP'(X)
3) P(X)

1) Pas de problème P(u+v)=P'(u)+P'(v) et P(a*u)=a*P'(u)

2) Je bloque. Je trouve que P(u+v) = uP'(u)+vP'(v)+uP'(v)+vP'(u) (au lieu de P(u+v) = uP'(u)+vP'(v) ) et P(a*u)= a²*u*P'(u) (au lieu de a*u*P'(u))
Donc je devrais conclure qu'elle n'est pas linéraire mais la rédaction de l'exo laisse penser qu'elle l'est ... donc je me dit que je me suis peut-être trompée ou que je suis la mauvaise piste...

3) en gros le même problème je trouve qu'elle n'est pas linéaire

Alors si vous avez des idées ....
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[MMu]

Attention , tu n'as pas compris la définition des différentes fonctionnelles .. L'argument est la fonction ..
1) , donc .. etc
2) .. etc
3) .. etc

[invite90e44d75]

A d'accord ! Merci

[PlaneteF]

Bonsoir,

Juste une toute petite remarque :

Pour démontrer qu'une application est linéaire, on peut aussi regrouper les 2 conditions : et

en une seule condition :

Ainsi, par exemple, pour l'application de dérivation d'un polynôme, on a bien :

[A voir en vidéo sur Futura]