Matrice

[Snowey]

Bonjour !
Je bloque un peu sur deux exercices, et j'aimerais bien un petit coup de pouce

- Dans le premier, on travaille avec la matrice carrée .

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Bon, on montre en calculant que l'endomorphisme canoniquement associé u est nilpotent d'indice 3.
De plus je trouve sans trop de difficultés libre et ce qui donne que u est de rang 2, et on obtient même et .

Mais je dois ensuite prouver qu'il existe tel que, en notant , . C'est à dire que A et B sont semblables.
J'ai un peu de mal à le prouver ...
On demande juste l'existence, donc je pense qu'il suffit que je montrer que B représente l'application u dans une certaine base ! (plus facile à construire donc, non ?).
Pourriez vous me donner quelques indices.

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J'ai trouvé une démonstration, mais elle n'est pas justifiée:
u étant nilpotente, soit une base de l'espace
En particulier, on sait que et A sont semblables car elles représentent le même endomorphisme.
Or et une matrice et sa transposée sont semblables (résultat inaccessible) ce qui donne le résultat

-Ensuite, j'aimerais montrer que si A est une matrice carré de taille n nilpotente d'indice p, alors .
Mais je ne sais pas trop comment commencer, donc j'en reparlerai un peu plus tard.

Merci beaucoup, et d'avance, d'essayer de m'aider !

Snowey
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[0577]

Bonsoir,

Une indication : tu sais qu'il existe z tel que (z, u(z), u²(z)) soit une base. Mais alors (u²(z), u(z), z) est aussi une base ...

Une remarque : le fait qu'une matrice soit semblable à sa transposé est vrai mais pas si évident. Dans le cas d'une matrice avec uniquement des 1 sur
la surdiagonale (ce qui s'appelle un bloc de Jordan)(ce qui est le cas qui t'intéresse) c'est facile : la matrice counité (i.e avec uniquement des 1 sur la codiagonale)
est une matrice de passage qui convient ( on ne fait qu'inverser l'ordre des vecteurs de la base : Cf l'indication)

Sur la majoration de l'indice de nilpotence par la dmension, il y a plein de façon de faire. Dans le premier exo, tu as écrit : " ... est nilpotent donc il existe z tel que (z, u(z), u²(z)) soit une base ...". La généralisation de ce résultat en taille quelconque de matrice donne une des preuves possibles.

[0577]

Attention! Dans le premier exo, tu as écrit : " ... est nilpotent donc il existe z tel que (z, u(z), u²(z)) soit une base ...". Ici c'est vrai mais pas seulement parce que u est nilpotent mais aussi parce qu tu sais des
des choses sur u par la première question.
Ce que j'ai voulu dire à la fin du message précédent par "généralisation" n'est pas vraiment une généralisation de ce résultat là ...