les partitions et relations d'équivalences

[invitefea9b599]

"pour toute relation d'équivalence dans un ensemble E ,l'ensemble E/ quotient des classes d'équivalences de x(modulo ) est une partition dans E
soit une partition dans E, toute relation définie par :
(x,y)E² xy (p xp et yp) est une relation d'équivalence et =E/" ceci est une proposition que j'ai démontré sauf la derniére c-à-d (E/=) que j'ai pas pu la prouver et pourcela je demande votre aide et je veux une démonstration clair et compréhensible
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[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour, en espérant ne pas faire d'erreurs:

Soit , alors est non vide car est une partition, donc il existe alors soit un élément de la classe de alors on a donc il existe tel que or donc ici car est une partition. Donc donc la classe de est incluse dans . Soit alors comme on a bien l’existence d'un élément de qui contienne et on a nécessairement donc la classe de contient , d'où la classe de est , donc d'où .

Soit alors comme est une classe, est non vide. Soit , alors comme il existe tel que . Soit alors donc comme précédemment (avec x) on a . Donc . Soit alors comme et sont dans le même élément de on a donc donc donc donc donc .

En espérant ne pas avoir dit d'énormités, RoBeRTo

[PlaneteF]

Bonjour,

Voici une manière de présenter la démonstration (RoBeRTo-BeNDeR, je n'ai pas encore détaillé ta démonstration, sur le fond on doit probablement dire la même chose ).

En fait l'égalité est une conséquence directe de la propriété suivante :

Soit une partition de . Soit un ensemble quelconque de , et un élément donné de ( existe puisque est une partition).

Alors : (avec la notation = classe d'équivalence de suivant ).


Démontrons cette propriété :

, puisque aussi, par définition , donc , donc .

Réciproquement, , donc par définition , donc : .

On a donc simultanément : et , comme est une partition, , donc , donc .

Donc :


A partir de là, l'égalité découle immédiatement de cette propriété. En effet :

, soit ( existe car est une partition). D'après la propriété, , donc .

Réciproquement, (car est une partition), donc d'après la propriété, , donc , donc .


On a bien :

[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour, en effet PlaneteF c'est exactement la même démonstration que la mienne.

[A voir en vidéo sur Futura]