Convergence quadratique

[Morghot]

Bonjour,

Je réalise un mémoire et j'ai une partie sur les différentes méthodes d'approximation de que je présente avec un petit peu d'histoire et que j'implémente ensuite sur Mathematica pour étudier la vitesse de convergence. Seulement j'ai une petite intérrogation sur un algorithme des frères Borwein dit à convergence quadratique. Ceci voudrait dire que il y a 4 décimales exactes rajoutées à chaque itération, que chaque itération multiplie le nombre de décimales exactes par 4 ou encore autre chose ? J'ai donc écrit un programme que voici :

Prog4[d_] := Module[{n = 0, y = Sqrt[2] - 1, a = 6 - 4 Sqrt[2]},
  					While[Decexact[1/a] < d,
   							y = (1 - (1 - y^4)^(1/4))/(1 + (1 - y^4)^(1/4));
   							a = (1 + y)^4 a - 2^(2 n + 3) y (1 + y + y^2);
   							n = n + 1
   					];
  					1/a
  				]

où Decexact est une fonction écrite par moi-même qui calcul le nombre de décimales exactes du paramètre par rapport à (elle est testée et fonctionne parfaitement).

Le programme utilise l'algorithme pour calculer au moins le nombre de décimales passé en paramètre (appelé d). J'ai testé Decexact sur le programme et voila ce que je trouve :

Decexact[Prog4[3]]
7

Decexact[Prog4[7]]
7

Decexact[Prog4[8]]
40

Decexact[Prog4[41]]
170

etc ...

On a donc 7 décimales avec la première itération, 40 avec la seconde, 170 avec la troisième etc ... Ce qui ne correspond pas à la convergence quadratique visiblement.

Voila le problème ! Seulement je ne sais pas très bien ce que ça veut dire et je ne trouve pas beaucoup d'explication claire sur internet.

Merci à tout ceux qui me répondront et même aux autres

A++
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[Morghot]

Rebonjour !

J'ai continué quand même et je suis tombé sur un autre os ^^ Donc j'en profite pour poser ma question. C'est au sujet de l'algorithme comptes-goutte. J'ai compris l'explication sur l'écriture de Pi comme [2,2,2,...] dans la base variable [1,1/3,2/5,3/7,...]. On doit donc écrire un algorithme de changement de base et c'est le principe de l'algorithme comptes-goutte. Cependant je vois pas du tout comment faire parce que j'avoue que je ne comprends pas du tout l'histoire de base variable etc ....

Merci encore !

[Morghot]

Je fais ma petite conversation tout seul ^^ J'ai trouvé l'algorithme comptes goutte sur Mathematica et j'ai réussi à l'implémenter ( si il y en a qui sont intéressés ... ) je m'attaque maintenant à la formule BBP pour le calcul d'une décimale isolée en base 16 et la "convertir" en base 10 ( si c'est possible ). Je me suis renseigné légèrement et j'avoue que je ne suis pas très enthousiaste, les histoires de bases ne m'étants pas très familières ... Sinon je n'ai pas cherché pour la convergence quadratique donc toute aide est la bienvenue

Merci ( on ne le dira jamais assez ) !

[Morghot]

Rebonjour,

Problème de taille : j'aurais besoin d'un programme trouvant les valeurs propres et vecteurs propres ( ou solution approchée ) pour une matrice tridiagonale symétrique ( les éléments diagonaux n'étants pas constant ... ). J'ai trouvé une sous-routine appelée tqli de Numerical Recipes malheureusement je ne la trouve pas en language Mathematica et les codes Fortran ou C ne me sont vraiment pas familiers... Si quelqu'un a un algorithme de ce genre sous Mathematica ou au moins la description d'un tel algorithme que je puisse l'implémenter ce serait vraiment bien !

Merci !

[A voir en vidéo sur Futura]

[369]

essaye de poster ton topic dans informatique (algorithmique), tu auras peut-être plus de réponse

[Morghot]

Ok c'est possible en effet j'ai même pas tilté ! J'ai résolu tous mes problèmes à l'exception de l'algorithme BBP que j'ai quand même réussi à implémenter sur Mathematica mais sans comprendre pourquoi en fait. De plus j'ai réussi l'évolution d'un paquet d'onde gaussien dans un puits de potentiel infini (valeurs et vecteurs propres de l'Hamiltonien puis décomposition de l'état initial dans la base des vecteurs propres) mais lorsque je change le potentiel pour créer une barrière de potentiel ma gaussienne ne réagit pas à la barrière ... Surement une histoire de constante (impulsion de la gaussienne et hauteur de ma barrière en eV surtout) m'enfin c'est moins important ==> priorité à l'algo BBP. SI quelqu'un veut le code Mathematica pour m'expliquer pas de problème.

Je ne vais pas poster encore dans la section informatique, je dois attendre qu'un modérateur transfert le sujet non ?

Merci à toi !