E.D.O Non linéaires

[inviteb8a8585a]

Bonjour tout le monde

Ma question sur les E.D.O Non linéaires est la suivante :

On suppose qu'on a une E.D.O Non linéaires du type :

x'(t)=f(x(t))

avec t positif.

Peut-on faire un changement de variable y(t)=tan(x(t)/2) ??

(J'ai trouvé un problème avec la définition du domaine de x et pas celui de t! Sauf que ce qui nous intéresse dans cette EDO est la phase sur le cercle beaucoup plus que sur le plan)

Dans le cas ou c'est possible de faire ce changement de variable, on trouvera en fin de calcul l’équation :

y'(t)=c+g(t)y+y²

Cette dernière équation est-elle résoluble? (avec g fonction)

Je vous remercie d'avance.

Salutations
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[invite57a1e779]

Pour définir y(t), il faut tout d'abord prouver que la solution x(t) ne prend aucune valeur de la forme (2k+1)π.

[invite57a1e779]

y'(t)=c+g(t)y+y²

IL s'agit d'une équation de Riccati que l'on sait résoudre dès que l'on connaît une solution particulière.

[inviteb8a8585a]

Je vous remercie pour votre réponse rapide;

En effet, x(t) passe par les valeurs (2k+1)pi, et c'est ça qui pose problème, je me dis, je partage l'ensemble d'arrivé de la fonction x(t) à [(2k+1)pi, (2k+3)pi], d'autre terme je regarde x modulo 2pi.

Cela aussi pose problème car lorsque x fait le tours sur le cercle, y(t) ne nous informe pas qu'elle passe par le pint (2k+1)pi.


Je vous remercie God's Breath pour le lien et pour l'indication

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite63e767fa]

x'(t)=f(x(t)) avec t positif.
Peut-on faire un changement de variable y(t)=tan(x(t)/2) ??

Bonjour,
je ne vois pas pourquoi faire ce changement de variable, puisqu'il s'agit d'une EDO a variables séparées, donc résoluble par intégration directe (voir page jointe).
En principe, le résultat est de la forme t= (fonction de x) +constante.
Bien sûr, pour avoir x(t) if faut ensuite exprimer la fonction réciproque.

[invite63e767fa]

y'(t)=c+g(t)y+y²
Cette dernière équation est-elle résoluble? (avec g fonction)

God's Breath l'a dit : c'est une EDO de Riccati.
Si l'on ne connait pas de solution particulière, il est aisé de se ramener à une EDO linéaire du second ordre (page jointe)

[inviteb8a8585a]

Merci JJacquelin, pour la réponse;

En effet, on peut pas calculer l’intégrale de l'inverse de f, elle est bien compliquée.

Pour l'équation de Riccati, vu l'objectif, je pourrai choisir n'importe quelle solution arbitraire particulière.

Merci encore!