Dans la dualite de Pontriajin entre les groupes abeliens discrets et les groupes abeliens compacts, on associe a un groupe abelien A son dual A* qui est le groupe abelien compact des homomorphismes de A dans R/Z.
quatre proprietes essentielles de R/Z qui font fonctionner la chose sont :
- R/Z est abelien (ca assure que les homomorphismes forment un sous groupe de R/Z^A)
- R/Z est compact (permet de mettre la topologie produit (compacte d'apres Tychonoff) sur R/Z^A, et de recuperer un compact sur le sous groupe des homos)
- R/Z possede pour tout n un unique sous groupe d'ordre n (ca sert pour voir que le dual de Z/nZ est lui meme).
- R/Z est divisible (ca sert pour montrer que A --> A* est injective)
la question naturelle alors est : est ce un miracle que ces 4 conditions soient reunies pour R/Z ou existe il d'autres groupes qui les reunissent ?
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