Matrice complexe

[invite705d0470]

Bonjour,
me voilà sur un exo dont l'énoncé est "tout gentil", mais bon, je n'y arrive pas vraiment, pourriez vous me donner quelques idées ?

On considère A une matrice complexe carrée de taille n.
Il me faut montrer que si , alors A est inversible.

Mes premières idées ont été d'essayer montrer par récurrence que la famille de ses vecteurs lignes (i.e des vecteurs colonnes de sa transposée) est libre, et ... pas grand chose en fait. J'ai observé sa trace, son produit avec sa transposée et pensé à l'inégalité triangulaire, mais c'est sans conséquence.

Merci d'avance de votre aide,

Snowey
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Il est aisé de prouver que le système Ax=0 n'a que la solution triviale : pour une solution de ce système, isoler x_i de plus grand module.

[albanxiii]

Bonjour,

Pour info, il s'agit du (enfin, au moins un des) lemme d'Hadamard : http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice...e_d.27Hadamard (ne reagardez pas le lien su vous ne voulez pas voir la démonstration, elle y est donnée).

Bonne soirée.

[invite705d0470]

Merci à vous deux, (pour "l'indice", c'est à dire la solution et pour le lien et donc la partie culturelle, c'est toujours interessant de mettre un nom sur un petit exercice que l'on fait ... ou du moins essaie de faire)
En fait je n'avais pas pensé à le voir de cette façon là.
Finalement, quels doivent être selon vous les bons reflexes devant ce type d'exercice (matrices, conditions sur les coefficients, inversibilité, ...) ?
Je sais que celà dépend clairement de l'exercice, mais peut être que des idées générales doivent immédiatement percer ?
(outre connaitre son cours sur le bout des doigts, condition sine qua non ^^)

Encore merci à vous (décidément, que serait le forum sans vous )

[A voir en vidéo sur Futura]

[albanxiii]

Bonjour,

Finalement, quels doivent être selon vous les bons reflexes devant ce type d'exercice (matrices, conditions sur les coefficients, inversibilité, ...) ?

Vu mon niveau en algèbre linéaire (ou alors c'est juste que je n'accroche pas...) le meilleur conseil que je puisse vous donner est de vous dire de ne jamais écouter le moindre conseil venant de moi en ce qui concerne l'algèbre linéaire

Plus sérieusement, si tout cela ne coule pas de source pour vous (pour moi non plus...) la seule chose qui, de mon point de vue, puisse vous aider c'est de faire des exercices. Si possible des classiques (qui doivent se trouver facilement soit sur des sites avec corrigés, soit auprès de votre prof de maths, soit en demandant ici...). Et puis bien sur, il faut connaître le cours parfaitement.

Bonne journée.

[invite705d0470]

Hihi, je ne suis pas sûr d'arriver un jour à avoir un bon niveau en maths ... Mais le point positif malgré tout, c'est que j'aime ça !
Je crois que c'est ce qui me sauve ^^

Bon, c'est pas tout mais quelqu'un m'a conseillé de faire des exos, or (oh miracle ?) il se trouve qu'un fascicule de plus de ... hum 150 exos d'algèbre linéaire m'a été offert (par mon prof, va sans dire).
De quoi continuer agréablement les vacances, quoi !

Merci encore pour tout