Matrice dans Z

[invitee75a2d43]

Bonjour,

j´ai une question qui me semble assez simple, mais je n´arrive pas à en faire une démonstration claire.
On me donne une matrice A nxn, dont les éléments sont dans Z, donc des entiers relatifs. Cette matrice est inversible et son inverse A^-1 a ses éléments également dans Z. Il s´agit alors de déterminer quelles valeurs peuvent prendre A et A^-1.
On remarque d´abord que les déterminants de A et de A^-1 sont dans Z, on a donc det(A) = det(A^-1) = 1.
J´ai donc tendance à dire que ces matrices sont simplement la matrice unité, mais comment le prouver rigoureusement?

Merci d´avance

Christophe
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[Amanuensis]

Quelques réactions immédiates :

Le déterminant peut être -1

Et toute matrice diagonale avec des 1 ou des -1 est solution

Ensuite, si n=2, la matrice ((0,1),(1,0)) est aussi solution (elle est sa propre inverse).

[Médiat]

Bonjour,

det(A) = -1 ne marche pas ?

Une matrice comme :
1 0
0 -1

ne répond-elle pas à la question ?

[invitee75a2d43]

euh oui c´est vrai.... toutes les matrices diagonales composées de 1 et -1 marchent. Peut-être seulement celles-là?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Non, pour n= 2, vous avez aussi :
0 1
1 0

[Amanuensis]

Peut-être seulement celles-là?

Oh que non, en plus de la non-diagonale que j'avais indiquée message #2 :

((3,4),(2,3)) x ((3,-4),(-2,3)) = ?

[Médiat]

Vous avez démontré que était une condition nécessaire, est-elle suffisante ?

[invite57a1e779]

Bonjour,

Ma grande bonté, qui me perdra, me souffle une indication : si et ,
alors .

On en déduit, entre autres: c'est-à-dire une relation de Bézout entre et .

Il reste à conclure, et à généraliser pour une matrice d'ordre ...

[invitee75a2d43]

Merci bien pour toutes vos réponses, je vais y méditer sérieusement...
Bon WE

[invite76543456789]

Bonjour!
Ce serait triste s'il y avait si peu de matrices dans GL(2,Z), il n'y aurait alors que 4 opérations elementaires en arithmétique

[invitea0db811c]

Sinon, avec la formule donnant explicitement l'inverse comme transposée de la commatrice avec un facteur 1/det(A) devant, que peut-on en déduire sur l'inverse des matrices ayant déterminant 1 ou -1 ?