Système d'équations différentielles

[invite8c93f715]

Bonjour voilà j'ai une difficulté concernant la résolution de ce système.

y₁' + 2 t y₁ + y₂ = (1+t) exp t (E1)
y₂' - y₂ = exp t (E2)
y₂ (0) = 1 (E3)

Ecrire l'équation homogene associé à E2, donner ses solutions et appeler K la constante qui apparait.
Ma réponse : y2' - y2 = 0
yH (t) = K exp t, K appartenant à R.

Utiliser la méthode de la variation de la constante pour trouver une solution particuliere de E2.
Je trouve : z (t) = C exp t, C appartenant à R.

Résoudre E2
Ma réponse : y2 (t) = yH + z = K exp t + C exp t

Est-ce correct?

voilà où je n'y arrive pas: préciser les solutions de E2 qui satisfont les conditions de E3.
Dois-je écrire : y2 (0) = C exp 0 + K exp 0 = 1 ?
Merci d'avance!
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[invite8c93f715]

donc y2 = exp t ?

[invite8c93f715]

Ensuite on me dit : résoudre : y₁' + 2ty₁ = 0 . Si une constante apparait, la noter L
Résoudre le système ensuite.

Donc pour l'equation homogène je trouve :
y_1H = L exp -t², L appartenant à R.

de là j'en déduis :

on a que y₂ = exp t

donc en substituant dans (E1) on a : y_1' + 2ty₁ = t exp t

On cherche une solution particulière de (E1) donc : z = L (t) exp -t² (méthode de la variation de la constante) :
On arrive à : z' + 2tz = L' (t) exp -t² = 0 donc L'(t) = 0 donc L(t) = J, J appartenant à R.

donc z = J exp -t²

donc la solution de (E1) est : y₁ = L exp -t² + J exp -t²

Est-ce juste ?

[invite8c93f715]

Car ensuite la dernière question je n'y arrive pas :
pour quelle(s) valeur(s) de L a t-on :
- y1 (0) = 1
- y1' (1) = 1 ?


Comment faire?
Merci...

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour.

"donc y2 = exp t ? "

1) C'est facile de vérifier !
2) Et même, sans calcul, ce que tu as écrit avant (si tu l'as pensé) devrait t'interdire d'écrire cela (voir équation sans second membre).

Et si tu appliquais correctement la méthode de variation de la constante ? écris tes calculs ici si tu ne vois pas où tu dérapes.

Cordialement.

[invite8c93f715]

(méthode de la variation de la constante) :

Je crois avoir compris mon erreur. Donc on a:

z(t) = K (t) exp t
z'(t) = K'(t) exp t + K(t) exp t d'où z'(t) - z(t) = K'(t) exp t = exp t donc K'(t) = 1 donc K(t) = t ?
Donc la solution particulière est : z(t) = t exp t ?

D'où y2 (t) = z (t) + yH (t) = t exp t + K exp t .