formule de cauchy

[invite371ae0af]

bonjour,

j'aurai une question sur la formule intégrale de cauchy

par exemple je prend: avec C le cercle de centre O et rayon 2

le terme général de l'intégrale est holomorphe sur C\{1}

Mais comment peut-on utiliser ici la formule intégrale de cauchy en sachant que C\{1} n'est pas un ouvert étoilé à cause du point 1?

merci de votre aide
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Pour moi, la formule intégrale de Cauchy, c'est :



lorsque :
– est une fonction holomorphe sur un ouvert simplement connexe (étoilé avec ton énoncé si j'ai bien compris) ;
– est un chemin fermé inclus dans ;
– appartient à ;
– est l'indice de par rapport à .

Dans ton cas :

– la fonction est la constante 1, holomorphe sur l'ouvert qui est tout ce qu'il y a de plus étoilé car convexe ;
– le cercle est un joli chemin fermé inclus dans ;
– le point appartient bien à car 1 n'est pas de module 2 ;
donc la formule intégrale de Cauchy se réduit à la définition de l'indice de 1 par rapport à :

[invite371ae0af]

dans mon cours je n'ai pas mais
en faites j'ai les mêmes hypothèse et en conséquence:
si a est à l'intérieur du chemin et 0 sinon

[invite57a1e779]

Non. La formule est bien (dans les bonnes conditions pour ) :



avec le facteur devant l'intégrale.

Il suffit de vérifier avec et en intégrant sur un cercle centré à l'origine.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite371ae0af]

dans ce cas je corrige, merci