Polynôme de Lagrange.

[invite3c1c7678]

Bonsoir à tous , j'ai des problèmes sur l'exercice 1 (lien du sujet: **** Merci de suivre cette procédure pour les images http://forums.futura-sciences.com/ma...s-jointes.html **** )
Je n'arrive pas à résoudre les question précédé de rouge , pour celle en vert j'ai fait quelque chose mais ça me parait faux

pour la question en vert j'ai fait :comme (L1,....,Ln) est une base tout éléments de Kn-1[X] s'écrit sous la forme d'une combinaison linéaire de cette famille donc on retrouve la formule demandé.

Je vous appelle donc à l'aide merci d'avance pour vos futurs réponses .
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[invite3c1c7678]

Je vous met le sujet ici

[gg0]

Bonsoir.

Pour la 1-b, tu as une application linéaire injective d'un EV dans un EV de même dimension.
Si tu n'as pas le théorème classique dans ton cours, utilise que l'image d'une base est une partie libre et elle a n éléments.

Pour le 3b, il est facile de montrer que c'est une partie libre (évaluer aux )

Pour le 3 c, il suffit de vérifier qu'il a bien les propriétés du 2.

Cordialement.

[invite3c1c7678]

Je me suis trompé , j'ai reussit à faire 1-b avec le fait que dimE=dimF et l'application est linéaire donc bijective.
Mais j'ai un problème pour montrer l'injectivité de l'application linéaire.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Ok !

Cela revient à montrer l'unicité d'un polynôme de degré n dont on connaît les valeurs en n+1 points distinct. Comme ton application est linéaire, il suffit de montrer que (0;0;0;...0) a un seul antécédent, c'est à dire l'unicité d'un polynôme de degré n nul en n+1 points distincts. Ton polynôme est alors factorisable par chacun des (x-a_i). Je te laisse conclure.
C'est encore plus direct si tu connais la version maximale du théorème d'identification : Si un polynôme de degré au plus n a au moins n+1 racines, il est nul. Et encore plus si tu connais la conséquence pour les polynômes quelconques.

Cordialement

[invite3c1c7678]

J'ai réussit à montrer l'injectivité. Merci à toi.

Par contre je n'arrive toujours pas aux autre questions.

Merci quand même.