Exercice EV de dimension finie

[invitee8b9df23]

Bonjour,

j'ai un exercice à faire mais je bloque dès la première question et même avec mon cours je ne vois pas comment le résoudre tellement il est selon moi "bizarre", donc voici l'énoncé :

Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n N*.

a/ Soit f aux application linéaires de E dans E tel que : .

Montrer que .

Voila je ne vois pas du tout comment commencer, il y a juste interversion entre le il existe et le pour tout..
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Commence par prouver le résultat pour les vecteurs d'une base.

[invitee8b9df23]

D'après le cours, je sais que par définition pour une base (x1,...,xn) de E "pour tout" x appartenant à E, il existe un unique avec (x1,..,xn) les vecteurs.

Et quand l'espace est de dimension finie, le nombre de vecteurs de la base est égal à la dimension de cet espace.

[gg0]

Bonjour.

Pour que ce soit plus clair, tu pourrais écrire l'hypothèse :

ce qui montre bien le fait que le coefficient dépend de x, à priori. Puis tu vas montrer que c'est toujours le même, donc qu'il ne dépend pas de x :
Dans un premier temps, tu peux montrer que le est le même pour tous les multiples de x (non nul). Si la dimension est 0 ou 1, tu as terminé. Puis tu considères deux éléments linéairement indépendants x et y et tu montres que .
Dans les deux cas, la linéarité de f est le bon outil : f(kx)=kf(x) pour le début, f(x+y)=f(x)+f(y) pour le deuxième (plus (x,y) famille libre).

La dimension finie ne joue aucun rôle.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee8b9df23]

Merci bien pour cet éclairage, cependant je ne comprend pas bien en quoi l'application linéaire f peut permettre de montrer que que ?

[invite083d3f4d]

Bonjour!

J'ai pas la solution, mais je crois que je peux expliquer la question,
la définition de , veut dire qu'à chaque de , est associé un , mais il se peut qu'il y aient des inactifs (non associés à des ). Ce qui est demandé c'est de montrer que la bornitude de , et la linéarité de font en sorte qu'il est impossible de trouver des non associés à des , autrement dit, , c'est à dire qu'un de peut être associé à au moins un .

[PlaneteF]

Merci bien pour cet éclairage, cependant je ne comprend pas bien en quoi l'application linéaire f peut permettre de montrer que que ?

gg0 t'as montré la démarche, donc yapuka

Par exemple pour le 2^e cas ainsi évoqué :

Soient et , 2 vecteurs linéairement indépendants.

et





Je te laisse finir en passant tout dans le même membre et en utilisant l'indépendance linéaire de et , avec résultat immédiat.


Même type de raisonnement dans le cas où et sont linéairement dépendants ().

[invitee8b9df23]

Je suis un peu paumé désolé, je ne comprend pas d'où sort le membre de gauche de

Surtout avec le " y.(x+y) "

[gg0]

Il sort de la traduction immédiate de la ligne d'au dessus !

[PlaneteF]

Je suis un peu paumé désolé, je ne comprend pas d'où sort le membre de gauche de

Surtout avec le " y.(x+y) "

Attention, dans : , est en indice !