Tribu borélienne.

[invitec3143530]

Bonjour, avez-vous un exemple de borélien qui ne soit pas union dénombrable d'intervalles ?
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[inviteea028771]

Dans R², le disque unité est un borélien qui n'est pas une union dénombrable de pavés.

Dans le cas de R, je ne vois pas immédiatement d'exemple (ni un résultat qui dirai le contraire)

[invitec3143530]

J'ai oublié de le préciser mais ma question conçerne bien R : un tel borélien devrait exister car j'ai lu qu'on ne pouvait obtenir tous les boréliens via des unions dénombrables.

sinon je ne vois pas pourquoi le disque unité ne serait pas une union dénombrable de pavés : on pourrait construire (même si je suis incapable de le faire rigoureusement) une suite d'unions finies de pavés qui croît vers le cercle unité, l'union des termes de cette suite est une union dénombrable de pavés égale à C(0,1).

[Seirios]

Bonjour,

Tout intervalle est union dénombrable de fermés, donc il suffit de trouver un borélien qui ne soit pas un . En fait, convient. En effet, si ce n'était pas le cas, on pourrait écrire comme une union dénombrable de fermés d'intérieur vide, mais comme est un espace de Baire, ce n'est pas possible.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteea028771]

sinon je ne vois pas pourquoi le disque unité ne serait pas une union dénombrable de pavés : on pourrait construire (même si je suis incapable de le faire rigoureusement) une suite d'unions finies de pavés qui croît vers le cercle unité, l'union des termes de cette suite est une union dénombrable de pavés égale à C(0,1).

Soit le disque unité fermé.

Alors chaque pavé (fermé) ne contient qu'un nombre fini de points du bord (les coins : 4 au maximum). Or il y a un nombre non dénombrable de points sur le bord du cercle, donc il faudrait un nombre non dénombrable de pavés pour obtenir le disque.