Tribu borélienne

[WraxKa]

Bonjour,

J'ai un peu de mal avec ces histoires de tribus, je mélange un peu tout. Dans un cours on demande de vérifier 1) que la tribu B(R) est aussi engendrée par les intervalles ]a,b[ où a,b appartiennent à R 2) par les intervalles ]-l'infini, a[ où a appartient à Q.

pour le 1) . Par définition B(E) est engendré par les classes d'ouverts de E, donc je ne vois pas très bien ce qu'il faut montrer ?

pour le 2) je remarque que les intervalles ]-l'infini,a[ sont les complémentaires des intervalles [a,+l'infini[ mais après je ne vois pas comment continuer
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[WraxKa]

pour le 2) ce que j'ai dit implique que tous les intervalles ]-l'infini,a[ sont dans B(R), mais maintenant, je ne vois pas trop comment montrer qu'ils engendrent B(R) ...

[Arkhnor]

Bonjour.

1) Les intervalles ]a,b[ sont ouverts, donc appartiennent à la tribu borélienne. Par conséquent, la tribu engendrée par ces intervalles est contenue dans la tribu borélienne.
C'est l'inclusion inverse qui est plus délicate. Montre par exemple que tout ouvert de s'écrit comme une réunion dénombrable d'intervalles de la forme ]a,b[. Ceci montrera que tout ouvert appartient à la tribu engendrée par ces intervalles, et terminera la démonstration.

2) Tu peux utiliser la question 1.

[invite899aa2b3]

Bonjour,
on sait que tout ouvert de peut s'écrire comme une réunion d'intervalles ouverts. Mais rien ne dit que cette réunion est dénombrable. On s'aide de l'ensemble des rationnels, qui a le bon goût d'être à la fois dénombrable et dense dans .

[A voir en vidéo sur Futura]

[WraxKa]

ok, les choses sont déjà plus claires pour moi, mais j'avoue que je sèche pour démontrer que tout ouvert de R s'écrit comme une réunion dénombrable d'intervalles ]a,b[ . J'ai quand même essayé :

J'ai envie d'écrire que tout intervalle du type ]-l'infini, a] peut s'écrire comme U_i ]xi,a[ où xi est une suite décroissante de rationnels par ex. Et pour le côté positif, tout intervalle du type [b,+l'infini[ peut s'écrire comme U_i ]b,yi[ où yi est une suite croissante de rationnels. Mais je pense pas que ce soit très rigoureux , n'étant pas en filière maths je suis pas trop habitué à ce genre de raisonnements

[Arkhnor]

Dans les unions que tu écris, les extrémités a et b n'appartiennent pas à l'union.

Néanmoins, ce n'est pas comme ça que tu montreras ton résultat.

On se donne un ouvert. Montre que pour tout , il existe un intervalle ouvert d'extrémités rationnelles, tel que .

[WraxKa]

ok, pour montrer ça il suffit de dire que Q est dense dans R non ?

[Arkhnor]

Oui, c'est l'argument essentiel. Il suffit ensuite de rédiger correctement ...