Suite qui converge vers 2

invite2b14cd41 · 15/01/2011, 18h07

Salut, j'ai quelques difficultés avec le problème que voici:
Que vaut $\text{[math]}$ , c’est-à-dire racine de deux que l’on élève à la puissance racine de deux et ainsi de suite une infinité de fois ?
Ensuite, plus généralement, on me demande d'étudier la suite :
$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

Tentative de résolution de la première question:
J'ai essayé d'appliquer la méthode générale du cours de mon prof:
Je commence par trouver les points fixes de f(x)= $\text{[math]}$ qui sont 2 et 4.
Cependant, bien qu'il soit claire que cette suite est croissante, je n'arrive pas à montrer quelle est bornée pour conclure qu'elle converge...
Pouvez vous me donner un indice SVP?

invite25cbd5d2 · 15/01/2011, 19h05

Salut !

Il est assez sympa cet exo

En fait tu as que si $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$ .
En particulier quand $\text{[math]}$ :
$\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ et la on refait la meme chose avec $\text{[math]}$ et ainsi de suite ..

On trouve finalement que 2 majore cette suite donc ...

invite2b14cd41 · 15/01/2011, 20h15

Envoyé par Lelouch

Salut !

Il est assez sympa cet exo

En fait tu as que si $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$ .
En particulier quand $\text{[math]}$ :
$\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ et la on refait la meme chose avec $\text{[math]}$ et ainsi de suite ..

On trouve finalement que 2 majore cette suite donc ...

Merci j'aurai du y penser plus tot... Une idée pour la deuxième question ?? Elle m'a l'air vraiment difficile.

invite25cbd5d2 · 15/01/2011, 20h41

Je l'ai pas encore entièrement résolu mais déjà on peut montrer que si $\text{[math]}$ alors on ne peut pas trouver de points fixes et donc pas de convergence .

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite2b14cd41 · 15/01/2011, 21h00

Envoyé par Lelouch

Je l'ai pas encore entièrement résolu mais déjà on peut montrer que si $\text{[math]}$ alors on ne peut pas trouver de points fixes et donc pas de convergence .

D'accord, je pense etre parvenu au meme constat. Si tu ne trouves pas c'est un peu normal.

invite25cbd5d2 · 15/01/2011, 21h15

En notant $\text{[math]}$ la suite qui a pour 1er terme $\text{[math]}$ il est évident que si $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$ , en utilisant le resultat precedant on montre que pour tout x positif , $\text{[math]}$ ,
$\text{[math]}$ et comme $\text{[math]}$ est croissante alors elle converge.

Mais bon reste les cas ou x appartient a ]sqrt{2}, e^{\frac{1}{e}}[

invite2b14cd41 · 15/01/2011, 21h26

Envoyé par Lelouch

En notant $\text{[math]}$ la suite qui a pour 1er terme $\text{[math]}$ il est évident que si $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$ , en utilisant le resultat precedant on montre que pour tout x positif , $\text{[math]}$ ,
$\text{[math]}$ et comme $\text{[math]}$ est croissante alors elle converge.

Mais bon reste les cas ou x appartient a ]sqrt{2}, e^{\frac{1}{e}}[

C'est faux.
En plus j'aimerai savoir si le resultat obtenu pour $\text{[math]}$ se généralise, cad si x= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ tenderait-elle vers l ... mais c'est une autre histoire.

invite25cbd5d2 · 15/01/2011, 21h30

En fait c’était plus simple que prévu

Resumons: on a montré que $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ .

Montrons que $\text{[math]}$ converge:
Cette suite est croissante. En plus

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
donc
$\text{[math]}$

et ainsi de suite ... on montre que $\text{[math]}$ ) est majorée par $\text{[math]}$ . C'est exactement comme on a fait pour la 1ere question.

Il semble qu'il y a un souci au niveau des puissances mais bon je pense que l’idée est claire

invite2b14cd41 · 15/01/2011, 21h44

Si ca t'interesse, j'ai trouvé un document très complet qui traite exactement ce problème et qui plutot "simple" à comprendre:
http://citron.9grid.fr/docs/tetration.pdf

(mais enfin, si je serai toi je réviserai pour mes examens et lirait la solution plus tard).
Sur ce, bonne nuit.

invite25cbd5d2 · 15/01/2011, 21h53

Je viens de revoir ma demo et tu avais raison elle est partiellement fausse puisque mon raisonnement ne tient que pour $\text{[math]}$ et donc il faudrait considerer le cas $\text{[math]}$ a part.

Je vais quand même un peu chercher avant de regarder la solution

Bonne nuit.

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