Cercle

[invite371ae0af]

bonjour,

j'aimerai savoir si un cercle peut être considéré comme un ouvert étoilé

merci de votre aide
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[Tiky]

Bonjour,

Il n'est même pas ouvert...

[invite371ae0af]

en faite j'ai une intégrale complexe sur C qui est un cercle. f est holomorphe sur C mais pour pouvoir utiliser le théorème de cauchy il faut trouver un ouvert étoilé. qui est ce alors?

[gg0]

Revois ton théorème plus précisément.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tiky]

C'est plutôt louche, tu es sûr que ta fonction n'est pas holomorphe sur un ouvert contenant le cercle en question ?

[invite371ae0af]

voici le théorème
U un ouvert étoilé de C
f:U-->C une fonction holomorphe
C un chemin fermé simple, C1 par morceaux
alors

[gg0]

Es-tu dans un cas d'application du théorème ?
Sur quel ensemble est définie ta fonction ? Sur quel ensemble est-elle holomorphe ?

[invite371ae0af]

je prend par exemple f(z)=. C le cercle de centre (5,0) et de rayon 1. f est holomorphe sur C mais qui est l'ouvert étoilé

[invitec3143530]

On peut prendre pour ouvert étoilé le disque ouvert (5,0) et de rayon 2, l'important c'est que le cercle (5,0)-qui est ici le chemin fermé du théorème- y soit contenu.

[gg0]

f est-elle holomorphe sur un ouvert étoilé qui contient le cercle ?
Si non, le théorème ne s'applique pas tout simplement. Que veux-tu y faire ?

Revois ce qu'est un ouvert étoilé.

[invite76543456789]

Salut!

f est holomorphe sur C mais pour pouvoir utiliser le théorème de cauchy il faut trouver un ouvert étoilé. qui est ce alors?

Le cercle n'est pas une variété complexe, dire qu'une fonction est holomorphe dessus, n'a aucun sens.

[Tiky]

Bah si... inutile de faire appel aux variétés complexes. Le fait d'être holomorphe est une propriété locale, il suffit que la fonction soit définie sur un ouvert contenant le cercle pour être capable de parler de dérivée au sens complexe.

[gg0]

Tiky,

tu devrais relire la définition de holomorphe. Et la notion de partie ouverte. Tu verras que depuis le début, tu te poses un faux problème.

Cordialement.

[Tiky]

J'ai dit dérivée au sens complexe... mais c'est du chipotage tout ça. Tu peux très bien avoir une fonction définie sur un anneau autour du cercle et dérivable au sens complexe en chaque point du cercle et seulement là.
Pour ce qui est une partie ouverte je sais très bien ce que c'est et j'ai été le premier à dire que le cercle n'en était pas un. Arrête de prendre les gens de haut ainsi.

D'ailleurs j'ajoute que sur Wikipédia :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_holomorphe

On précise qu'on peut confondre holomorphe et dérivable au sens complexe (comme dans mon cours de cette année). Je connais bien mes définitions moi...

[invite76543456789]

Bah si... inutile de faire appel aux variétés complexes. Le fait d'être holomorphe est une propriété locale, il suffit que la fonction soit définie sur un ouvert contenant le cercle pour être capable de parler de dérivée au sens complexe.

Oui, mais localement le cercle, c'est R, et parler d'holomorphie sur R n'a pas de sens.
Dire que la fonction est holomorphe sur un ouvert de C contenant un cercle c'est pas la meme chose que de dire la fonction est holomorphe sur le cercle. C'est un peu du pianillage, mais c'est quand meme important.

[Tiky]

C'est juste qu'on parle pas de la même chose, tu considère le cercle comme une variété et moi comme un sous-ensemble de C.

[gg0]

Désolé, Ticky,

je t'ai confondu avec 369

Par contre, la notion de holomorphe est précise "sur un ouvert", et ne recouvre pas exactement l'idée de dérivable dans . C'est ce qui pose problème à 369, du début.

Le danger que je voyais à ton message c'est la notion de "local" qui est dangereuse ici, et le fait que ça pouvait confirmer 369 dans son incompréhension.

On précise qu'on peut confondre holomorphe et dérivable au sens complexe (comme dans mon cours de cette année). Je connais bien mes définitions moi...

Sur n'importe quelle partie de . ??
Je n'ai pas réussi à trouver ça sur la page citée.

Cordialement.

[invite76543456789]

C'est juste qu'on parle pas de la même chose, tu considère le cercle comme une variété et moi comme un sous-ensemble de C.

Je comprends bien. Mais c'est quand meme un peu etrange (pourquoi pas comme une partie de R^3, ou d'un tore?)

[Tiky]

Pas problème, je cite wikipédia :
Définition — Soient U un ouvert de l'ensemble C des nombres complexes et f une application de U dans C.
On dit que f est dérivable (au sens complexe) ou holomorphe en un point z0 de U si la limite suivante, appelée dérivée de f en z0 existe :

On dit que f est holomorphe sur l'ouvert U si elle est holomorphe en tout point z0 de U. En particulier, on appelle fonction entière une fonction holomorphe dans tout le plan complexe.

Je suis d'accord qu'il est plus intelligent d'appeler le second holomorphe puisque de toute façon ça devient intéressant vraiment sur les ouverts de C.

[gg0]

Effectivement,

je n'avais pas vu l'incise. Je suis d'une génération plus ancienne qui évitait les risques, en ne définissant les fonctions holomorphes que comme dérivables en tout point d'un ouvert. La question de 369 montre bien qu'il y a, au départ, une idée forte à comprendre (sur laquelle on est tous d'accord).

Cordialement.