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Est-ce un cercle/arc de cercle?



  1. #1
    Lucas41

    Est-ce un cercle/arc de cercle?


    ------

    Bonsoir,
    je bloque sur un exercice ou je dois montrer que la courbe représentative de la fonction sur [0;1] n'est pas un arc de cercle. Enfin, la question est "est-ce que c'en est un", mais je pense bien que non. Il faut donc que je justifie et je ne sais pas comment faire. J'ai pensé à un raisonnement par l'absurde : étant donné la tête de la courbe, si c'est un arc de cercle il est de centre (1;1) et de rayon 1, mais je ne sais pas non plus comment le prouver numériquement, bref, je tourne un peu en rond, si quelqu'un pouvait m'aider ...

    Merci d'avance.

    -----

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  3. #2
    VegeTal

    Re : Est-ce un cercle/arc de cercle?

    Je connais pas les équations des arcs de cercle mais les équations des cercles c'est :

    .
    "There is no cure for curiosity." Entre -π/2 et π/2...

  4. #3
    Lucas41

    Re : Est-ce un cercle/arc de cercle?

    Justement, je ne sais pas non plus, je pense qu'on doit trouver la même chose, enfin, ça ne m'avance pas beaucoup ...

  5. #4
    VegeTal

    Re : Est-ce un cercle/arc de cercle?

    Enfin un arc de cercle c'est un morceaux de cercle... donc tu dois pouvoir exprimer ta fonction sous forme sinon ce n'est pas un arc de cercle.
    "There is no cure for curiosity." Entre -π/2 et π/2...

  6. #5
    Lucas41

    Re : Est-ce un cercle/arc de cercle?

    Oui, mais comment prouver que si je n'ai pas réussi à la mettre sous cette forme ce n'est pas juste paske j'en suis pas capable ? n_n'

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    mystic_snake [Théo]

    Re : Est-ce un cercle/arc de cercle?

    , c'est bien sur le de l'exemple type.
    avec l'équation qui définit ta fonction, tu peux essayer de factoriser et de mettre sous la forme qu'on t'a dite.
    si ça coince c'est que c'est pas un bout de cercle

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  10. #7
    Lucas41

    Re : Est-ce un cercle/arc de cercle?

    Je sais bien que f(x) et y sont la même chose. Seulement, je ne peux pas dire dans mon exercice "la courbe n'est pas un arc de cercle car je n'ai pas réussi à la mettre sous la forme (x-a)²+(y-b)²=r²" ...

  11. #8
    mystic_snake [Théo]

    Re : Est-ce un cercle/arc de cercle?

    et bien pourtant si, tout cercle a une équation de cette forme, et si c'est un cercle alors il a forcément une équation de cette forme.
    si il n'y en a pas, c'est que c'en est pas un, c'est quand même on ne peut plus rigoureux.

  12. #9
    -Zweig-

    Re : Est-ce un cercle/arc de cercle?

    Salut,

    Remarque que appartient à ta courbe si et seulement si

    Si , alors , soit . Donc appartient à la courbe.

    Réciproquement, si appartient à la courbe, alors car

    Maintenant pose et . Je te laisse conclure.

  13. #10
    -Zweig-

    Re : Est-ce un cercle/arc de cercle?

    Oui bon oublie ma "conclusion" elle est bien sûr fausse !

  14. #11
    Weensie

    Re : Est-ce un cercle/arc de cercle?

    Pour prouver qu'une courbe est un arc de cercle sur , il faut prouver l'existence d'un point (notons le P) tel que sur cet intervalle , pour tout point M(x;y) appartenant à cette section de courbe , le segment [PM] soit perpendiculaire à l'ensemble des tangentes à la section de courbe sur cet intervalle .
    Inversement pour prouver que ce n'est pas un arc de cercle , il faut prouver qu'il ne peut exister un tel point P
    .

  15. #12
    -Zweig-

    Re : Est-ce un cercle/arc de cercle?

    Je reviens avec cette fois-ci la bonne méthode (différente de celle de Weensie) :

    L'idée est de considérer 3 points appartenant à la courbe, par exemple les points A(1,0), B(0,1) et C(0.25,0.25). On détermine l'équation du cercle circonscrit au triangle ABC puis on choisit un point de la courbe, par exemple M(1/9, 4/3) et on montre qu'il n'appartient pas au cercle circonscrit, ça suffit pour affirmer que cette courbe n'est pas un arc de cercle.

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  17. #13
    tuan

    Re : Est-ce un cercle/arc de cercle?

    Salut.
    L'équation du 2nd degré en x et y (la plus générale)
    Ay2 +2Bxy +Cx2 + 2Dy +2Ex +F = 0
    est une fonction implicite d'une CONIQUE dans la forme "normale" ou dégénérée.
    Selon la valeur de RHO = B2-AC , on classe les coniques en 3 genres:
    RHO<0 : genre ELLIPSE (ellipse, cercle, 1 point)
    RHO=0 : genre PARABOLE (parabole, 2 droites parallèles, 2 droites confondues)
    RHO>0 : genre HYPERBOLE (hyperbole, 2 droites sécantes)

    Ici, à partir de y=x –2sqrt(x) +1 j'écris 2sqrt(x) = -y +x +1
    Au carré à y2 +2xy +x2 +2y –2x +1 = 0 (note 1)
    RHO=1 –1 = 0
    donc ce n'est pas genre ellipse
    donc ce n'est pas un (arc) de cercle

    Notes:
    1. Cette équation inclut aussi l'autre "moitié" de la parabole -2sqrt(x) = -y +x +1
    2. Cas cercle = genre ellipse et A=C et B=0

  18. #14
    tuan

    Re : Est-ce un cercle/arc de cercle?

    Citation Envoyé par tuan Voir le message
    Ici, à partir de y=x –2sqrt(x) +1 j'écris 2sqrt(x) = -y +x +1
    Au carré à y2 +2xy +x2 +2y –2x +1 = 0 (note 1)
    RHO=1 –1 = 0
    donc ce n'est pas genre ellipse
    donc ce n'est pas un (arc) de cercle
    J'ai remarqué tard que j'avais eu un problème avec l'éditeur...
    Il faut lire

    Au carré : y2 +2xy +x2 +2y –2x +1 = 0 (note 1)

  19. #15
    -Zweig-

    Re : Est-ce un cercle/arc de cercle?

    Certes, sauf que les coniques ne sont pas (plus) au programme du Lycée Et au vu cet exercice, je suppose que cette personne est encore au Lycée !

  20. #16
    tuan

    Re : Est-ce un cercle/arc de cercle?

    Hélas, on jour on vous supprimerait les identités remarquables puisque le développement d'un carré ou ou d'un produit est basique !
    On répare toujours les fuites d'eau avec des papiers collants ! LOL.

  21. #17
    Lucas41

    Re : Est-ce un cercle/arc de cercle?

    Merci beaucoup, grâce à la méthode de -Zweig- j'ai réussi, merci aux autres également.

  22. #18
    -Zweig-

    Re : Est-ce un cercle/arc de cercle?

    Au plaisir !

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  24. #19
    Lynx83

    Re : Est-ce un cercle/arc de cercle?

    Bonjour ! Je suis en Terminale S et j'ai exactement le même problème de maths que Lucas41
    Donc si vous pouviez m'aider ce serait sympa =) (je suis censé rendre ce DM pour demain^^)

    Je comprends la méthode de Zweig :
    Citation Envoyé par -Zweig- Voir le message
    Je reviens avec cette fois-ci la bonne méthode (différente de celle de Weensie) :

    L'idée est de considérer 3 points appartenant à la courbe, par exemple les points A(1,0), B(0,1) et C(0.25,0.25). On détermine l'équation du cercle circonscrit au triangle ABC puis on choisit un point de la courbe, par exemple M(1/9, 4/3) et on montre qu'il n'appartient pas au cercle circonscrit, ça suffit pour affirmer que cette courbe n'est pas un arc de cercle.
    Sauf que je sais pas (ou plus) déterminer l'équation du cercle circonscrit au triangle ABC connaissant trois de ses points (c'est à mon programme ??)

    Sinon j'avais pensé à prouver que f'(a)-f'(b)=k(a-b) avec k un réel, ce qui, je pense prouverait que la courbe est un arc de cercle sur [0;1].
    Mais je crois qu'elle n'en est pas un.

    Merci
    Dernière modification par Lynx83 ; 06/11/2013 à 18h54.

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