Symétrie d'une fonction, arc de cercle

**Lucas41** · 28/12/2008, 16h12

Bonjour,
Après de longues recherches (qui n'ont pas été aidées par le fait que le moteur de recherche de FS n'accepte pas les mots de 3 lettres, même le mot "axe" ...), j'ai réussi à trouver que montrer, pour une fonction f, que x=f(f(x)) équivaut à prouver que la courbe de cette fonction est symétrique par rapport à la droite y=x.
Je suis en terminale, mais je ne crois pas avoir déja vu cela, ou alors ça m'a échappé

, est-ce que le mettre ainsi suffit ? D'autant que sur mon exercice, mon professeur a mis comme "aide" : "vous pourrez montrer que l'image s(C) de C [C étant la courbe représentative de la fonction f] par cette symétrie est incluse dans C puis que $\text{[math]}$ ".

De plus, même s'il me suffit de dire que x=f(f(x)), j'ai un problème :
J'étudie la fonction définie sur [0;1] par $\text{[math]}$
On a donc $\text{[math]}$
En essayant de mettre x en fonction de f(x), ça donne :
$\text{[math]}$

Je ne trouve donc pas ce que je veux, qui serait :
$\text{[math]}$

Je me suis dit que si je ne faisais pas le changement de signe de la 4ème à la 5ème ligne, cela pourrait marcher car le $\text{[math]}$ au carré ferait lui aussi x, et j'obtiendrais le résultat voulu, mais ça me paraît un peu trop bidouillage pour être accepté ...

Que dois-je faire ?

Enfin, on me demande si la courbe C est un arc de cercle, et je ne sais pas du tout comment faire ...

Merci d'avance.

invite0d212215 · 28/12/2008, 16h39

Je n'ai pas vraiment compris ce que tu veux montrer par la démonstration que t'as mis, mais si c'est pour montrer que f(f(x)) = x, il suffit de procéder "normalement", comme si f(x) était une variable quelconque :

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Ainsi, on a $\text{[math]}$

Ce résultat permet de dire que $\text{[math]}$ , et donc $\text{[math]}$ )
(tu dois bien-sûr démontrer que f est bijective de [0,1] dans lui-même)

Les courbes de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont confondues, et comme (d'après le cours) elles sont symétriques par rapport à $\text{[math]}$ . On conclut que C est symétrique par rapport à cette droite .

**Thorin** · 28/12/2008, 16h41

tu as l'air d'avoir oublié que (a-b)²=(b-a)² !!

**Lucas41** · 29/12/2008, 13h08

En effet, j'l'avais oublié -_-', ça marrange pas mal

Pour Haexyrus, j'ai juste mis x en fonction de f(x), et, oh, comme par hasard, ça donne la fonction f, donc x = f(f(x))

Mais le problème est toujours là, est-ce que ça suffit pour dire que C est symétrique par rapport à y=x, c'est sans doute ce que tu as voulu dire, mais j'ai du mal à comprendre, avec les symboles ... Sinon, pour aller plus vite, quel est le protocole pour montrer que C est symétrique par rapport à y=x ?

Et toujours le problème de l'arc de cercle ...
Merci d'avance

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite0d212215 · 30/12/2008, 14h04

Si tu connais les notions de fonction réciproque et de bijection, ça devrait aller normalement ^^ Indiques où il y a peut-être une ambiguité et je tacherai d'éclaircir

**Lucas41** · 30/12/2008, 14h40

Justement, on n'a pas vu les fonctions réciproques, ça j'en suis sûr, et on n'a que survolé la bijectivité ...

**Lucas41** · 30/12/2008, 18h04

Up !?
Merci

**Lucas41** · 03/01/2009, 09h36

Up !
Sil vous plait, jen ai besoin avant lundi ...

Symétrie d'une fonction, arc de cercle

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