centre de symétrie d'une fonction

[jou1212]

bonjour,
j'ai une fonction f dont je dois savoir quel sont les coordoné du point de son centre de symétrie ! je ne sais pas comment faire alor si vous pouvez m'aider je suis preneur !

merci d'avance

f(x)= 6x-23/x-4
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[Chimerade]

bonjour,
j'ai une fonction f dont je dois savoir quel sont les coordoné du point de son centre de symétrie ! je ne sais pas comment faire alor si vous pouvez m'aider je suis preneur !

merci d'avance

f(x)= 6x-23/x-4

1 - La notion de symétrie est une notion géométrique ! Une fonction n'est pas un objet de la géométrie ! Donc une fonction ne peut avoir de symétrie.

Par contre, son graphe, oui !

2 - Que penses-tu de la fonction g(x)=6x-23/x ? Quelle est sa parité ? Qu'en déduis-tu pour son graphe ? Ensuite, compare le graphe de g et celui de f !

[jou1212]

bonjour,
ma fonction c'est : 6x-23/x-4 et non pas 6x-23/x !!
de plus pas besoin de parité car tantot je l'ai pas vu tantot je sais pas a quoi cela sert !
le graphe de 6x-23/x-4 c'est a peut près 2 droites parallèles!

merci d'avance

[Chimerade]

ma fonction c'est : 6x-23/x-4 et non pas 6x-23/x !!

Oui, j'ai remarqué ! C'est pourquoi j'ai appelé MA fonction g(x) et non f(x) !
f(x)=6x-23/x-4
g(x)=6x-23/x

C'est une façon de te suggérer d'observer pour comprendre à quoi ressemble ! Tu saisis ?

de plus pas besoin de parité car tantot je l'ai pas vu tantot je sais pas a quoi cela sert !

Si tu n'as pas appris ce qu'est la parité, c'est que tu n'as pas encore étudié ton cours ! Il me semble impossible de te donner ce DM AVANT de t'avoir enseigné ce qu'est la parité d'une fonction ainsi que ses conséquences sur les graphes correspondants. Regarde ton cours !

le graphe de 6x-23/x-4 c'est a peut près 2 droites parallèles!

! ! ! ! Comprends pas ! Je ne vois ni une, ni deux droites, a fortiori pas parallèles !


Vérifie ton cours ! Il est extrêmement probable que tu sois censé avoir appris ce qu'est une fonction paire, une fonction impaire, et que tu sois au courant de la manière dont on observe et reconnaît la symétrie du graphe d'une fonction ! Si ce n'est pas le cas, je ne comprends pas pourquoi on te donne ce DM !

[A voir en vidéo sur Futura]

[jou1212]

bonjour,
eh bien bienvenue au club !
j'ai jamais vu ce qu'est la parité d'une fonction!! mais je dois quand même dire quel sont les coordonées du point de symétrie de la fonction f !
désolé pour le f(x) et g(x) j'avais pas fait attention
et pour le réalisation graphique la courbe passe par
(-5;-29.4) (-4;-22.25) (-3;-14.33) (-2;-4.5) (-1;13)
pour 0 => error c'est normal
(1;-21) (2;-3.5) (3;6.333..) (4;14.25) (5;21.4)

[jou1212]

a j'oublier :
j'ai lut sur d'autre site internet de faire f(a+h) et f(a-h) et après
f(a+h)+f(a-h)/2 donc c'est ce que j'ai fais voila ce que cela donne :

pour f(a+h) = 6(a+h)-23/(a+h)-4 = 6a+6h-23/a+h-4
pour f(a-h) = 6(a-h)-23/(a-h)-4 = 6a-6h-23/a-h-4

pour f(a+h)+f(a-h)/2 = (6a+6h-23/ + (6a-6h-23/
a+h-4)/ a-h-4)/
2

cela est-il bon ? parce que après je me retrouve avec des a² en dévellopement ....

merci d'avance

[Chimerade]

Symétrie d'un point par rapport à un point

Le symétrique d'un point M(x,y) par rapport à un point A(a,b) est le point M'(x',y') tel que A soit le milieu de MM'. Or le milieu de MM' a pour coordonnées [(x+x')/2,(y+y')/2]. Donc si A(a,b) est le milieu de MM', forcément :
a=(x+x')/2 et b=(y+y')/2
On en déduit : x'=2a-x et y'=2b-y

Courbe symétrique par rapport à un point

On dit qu'une courbe est symétrique par rapport à un point A si elle est confondue avec sa symétrique par rapport à A, c'est-à-dire, si elle est confondue avec la courbe formée par les points symétriques de ses propres points par rapport à A.

En d'autres termes, la courbe C est symétrique par rapport à A(a,b) si quel que soit le point M(x,y) de la courbe, son symétrique par rapport à A (de coordonnées (2a-x, 2b-y) comme on vient de le voir) appartient aussi à cette courbe.

Graphe d'une fonction, symétrique par rapport à A

La courbe , représentative de la fonction f, est symétrique par rapport à A(a,b) si quelque soit le point M(x,f(x)) de la courbe, son symétrique par rapport à A (de coordonnées (2a-x, 2b-f(x)) comme on vient de le voir) appartient aussi à cette courbe, ce qui signifie ici que f(2a-x)=2b-f(x).

Fonction impaire

On dit qu'une fonction est impaire si son ensemble de définition est symétrique par rapport à 0 et si quel que soit x, on a :

f( - x)= - f(x)

Exemple : les fonctions linéaires f(x) = kx

La fonction , la fonction , etc...

Conséquence sur le graphe de f

On voit que la formule f(-x)= - f(x) est la même que la formule f(2a - x)=2b - f(x) à condition de choisir a=0 et b=0. Par conséquent, le graphe d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine (0,0).

Ton problème

f(x)= 6x - 23/x - 4

Je pose g(x)=6x - 23/x

Il est clair que g est impaire ! g( - x)=6*( - x) - 23/( - x)= - 6x+23/x= - g(x)

Par conséquent est symétrique par rapport à O(0,0).

Comme f(x)=g(x) - 4, il est clair que est la transformée de dans la translation de vecteur (0, - 4) ! étant symétrique par rapport à (0,0), est donc symétrique par rapport à (0, - 4)

Vérifions-le : il faut que f(2a - x)= 2b - f(x), pour tout x avec a=0, b= - 4, donc :

Il faut que f( - x)= - 8 - f(x) ou encore,
il faut que f( - x)+f(x)= - 8

Or,

f( - x)+f(x)=6*( - x) - 23/( - x) - 4 + 6x - 23/x - 4= - 8

est donc bien symétrique par rapport au point (0, - 4)

[jou1212]

bonjour,
j'ai pas tout tout comprit mais aparament sa a l'air d'ètre bon donc je te remercie de ton aide et de t'avoir pris de ton temps !

merci bcp

[jou1212]

bonjour,
désolé mais cette conjecture est fausse !
si le point était en (0;-4) cela voudrais dire quand remplaçant a=0 on trouveré -4 ! voici la preuve !

f(x)= 6x-23/x-4
on pose x=a+h
6(a+h)-23/(a+h)-4 = 6a+6h-23/a+h-4

on pose x=a-h
6(a-h)-23/(a-h)-4 = 6a-6h-23/a-h-4

f(a+h)+f(a-h)/2=2b
(6a+6h-23/a+h-4 + 6a-6h-23/a-h-4)/2

on pose a=0 (h pas égal a 4)
(6*0+6h-23/0+h-4 + 6*0-6h-23/0-h-4)/2 = (6h-23/h-4 + 6h-23/h-4)/2
<=> (12h-46/h-4)/2

on pose h= (-4)
(12*(-4)-23/-4-4)/2 = (-48-23)/-8/2 = -71/-8/2 = 71/8/2 = 71/4

71/4 pas égal a zéro !
(désolé mais si je me suis trompé faut me le dire car j'ai fait la méthode donné par un site donc je sais pas si c'est toi qu ia bon ou pas alors voila =))

merci d'avance

[Chimerade]

f(a+h)+f(a-h)/2=2b
(6a+6h-23/a+h-4 + 6a-6h-23/a-h-4)/2

on pose a=0 (h pas égal a 4)
(6*0+6h-23/0+h-4 + 6*0-6h-23/0-h-4)/2 = (6h-23/h-4 + 6h-23/h-4)/2
<=> (12h-46/h-4)/2

Tu as fait trois erreurs !

J'ai bien mis b et pas "2b" à la fin !
Avec a=0, on obtient :






Désolé, mais il est faux d'affirmer "désolé mais cette conjecture est fausse". J'affirme que le centre de symétrie est bien là où j'ai dit qu'il était !

[jou1212]

bonsoir,
ok je te remercie !

[jou1212]

bonsoir,
mais le -4 du dénominateur comment se fait il qu'il soit remonter en haut ?
et qu'il devienne -4/1 ?

[Chimerade]

bonsoir,
mais le -4 du dénominateur comment se fait il qu'il soit remonter en haut ?
et qu'il devienne -4/1 ?

Pour moi, il a toujours été en haut ! Tout ce que j'ai écrit jusqu'à présent concernait la fonction que tu as indiquée : f(x)= 6x-23/x-4
c'est-à-dire : !

J'espère que c'est bien ça ta fonction !!!!!

[Chimerade]

Je réalise soudain que ce n'est pas ta fonction ! Je parie que tu voulais étudier la fonction !!!

Dans ce cas, tu peux oublier tout ce que j'ai dit ! Tu dois donc tout recommencer !

C'est bien sûr ta faute ! Pour écrire cette fonction correctement, il fallait écrire f(x)=(6x-23)/(x-4) ! Eh oui, c'est à cela que ça sert les parenthèses !

[jou1212]

bonjour,
oui c'est sa am fonction désolé pour les parenthèse !
alors sa donne quoi?
merci d'avance

[Chimerade]

bonjour,
oui c'est sa am fonction désolé pour les parenthèse !
alors sa donne quoi?
merci d'avance

Bon ! Alors, essaie de simplifier !

Calcule un peu 6*(x-4) ; tu obtiens quoi ? Est-ce que cela te donne une idée pour simplifier ? ? ? ?

[jou1212]

bonjour,
oui j'ai calculé mais je vois pas ou tu veux en venir ! :s désolé

[Chimerade]

bonjour,
oui j'ai calculé mais je vois pas ou tu veux en venir ! :s désolé

Eh bien 6*(x-4) ça fait 6x-24 !

Quand je vois 6x-23 au numérateur, quand même !

6x-23=6x-24+1 non ?

Donc




Tu vois quelque chose maintenant ?

[jou1212]

bonsoir,
désolé mais non je vois pas ou cela peut nous amené a par que maintenant j'ai vu la parité donc x-4 c'est décroissant 1/x aussi et 6 une constante donc décroissant/décroissant cela fait 1 courbe croissante =)

merci d'avance

[Chimerade]

bonsoir,
désolé mais non je vois pas ou cela peut nous amené a par que maintenant j'ai vu la parité donc x-4 c'est décroissant 1/x aussi et 6 une constante donc décroissant/décroissant cela fait 1 courbe croissante =)

merci d'avance

x-4 c'est décroissant ? Tiens, tiens ! Moi je la voyais plutôt croissante celle-là !

En tous cas, nous ne sommes pas en train de parler de l'éventuelle croissance, mais plutôt du centre de symétrie.

Tu sais que la fonction 1/x a le point (0,0) comme centre de symétrie !
Que penses-tu alors du centre de symétrie de la fonction 1/(x-4) ?
Et que penses-tu du centre de symétrie de la fonction 6+1/(x-4) ?

[jou1212]

bonjour,
eh bien je dirais qu'elles ont toutes le même point de symétrie c'est a dire (0;0)

[Chimerade]

bonjour,
eh bien je dirais qu'elles ont toutes le même point de symétrie c'est a dire (0;0)

Eh bien, tu as tort ! Qu'est-ce qui te fait croire ça ? Trace-les, tu verras bien !

[jou1212]

bonjour,
alors je dirai (0;0) pour la première après je dirai (4;0) pour la deuxième et enfin pour la dernière (4;6) c'est cela ?

tu pourrais me donner le centre de symétrie de ma fonction ou pas stp ?

[Chimerade]

bonjour,
alors je dirai (0;0) pour la première après je dirai (4;0) pour la deuxième et enfin pour la dernière (4;6) c'est cela ?

tu pourrais me donner le centre de symétrie de ma fonction ou pas stp ?

Eh bien oui ! Bon tu sais le faire !

La dernière, c'était . Le centre de symétrie est effectivement (4;6) !

tu pourrais me donner le centre de symétrie de ma fonction ou pas stp ?

Ta fonction, je le rappelle, c'était . Le centre de symétrie de la courbe représentative, tu viens de le trouver ! D'après la formule, ça se voit. Lorsque x devient de plus en plus grand positif, on voit bien que 1/(x-4) devient de plus en plus petit et f(x) s'approche de 6. Lorsque x devient de plus en plus grand en valeur absolue et négatif, on voit bien que 1/(x-4) devient de plus en plus petit et f(x) s'approche de 6 également. On peut alors deviner que le centre de symétrie, s'il y en a un, est forcément à l'ordonnée 6. De même, lorsque x s'approche de 4 par la droite (en étant plus grand que 4) 1/(x-4) devient de plus en plus grand et positif (on dit qu'il tend vers l'infini ; je sais que tu n'as pas encore vu cette expression mais ça viendra bientôt). Et lorsque x s'approche de 4 par la gauche (en étant plus petit que 4) 1/(x-4) devient de plus en plus grand et négatif (on dit qu'il tend vers moins l'infini). Donc là aussi on sent bien qu'il se passe des choses en x=4, et que c'est une valeur exceptionnelle. S'il y a un centre de symétrie, ce ne peut être qu'un point d'abscisse 4. Il en résulte que le centre de symétrie ne peut être que le point (4;6) ! Mais ce n'est pas une démonstration : toutes ces remarques sont là pour t'expliquer pourquoi tu dois soupçonner le point (4;6) d'être le centre de symétrie. Pour le démontrer à présent, tu n'as plus qu'à appliquer les formules que tu as trouvées dans wikipédia ! Et ce sera un jeu d'enfant !

[jou1212]

bonsoir,
merci beaucoup a toi !
j'ai tout comprit ! merci a toi d'avoir pris de ton temps pour me repondre ! merci ! (je sent que je vais avoir besoin de toi premier controle de maths 7.5/20 ....)