Pour montrer que 2 espaces vectoriels sont supplémentaires

[invite0de04844]

Bonjour
On vient d'aborder les espaces vectoriels,j'ai compris que pour montrer que 2 espaces vectoriels sont supplémentaire,il faut montrer que

1)leur intersection=0
2)que E=F+G avec F et G 2 sev de E

Mais la 2eme propriété me semble plus dure à démontrer.Pouvez vous me donner un exemple en répondant à cette question:
E est l'ensemble des suites convergentes,F est l'ensemble des suites constantes et G l'ensemble des suites convergeant vers 0.Comment montrer que F et G sont supplémentaires?
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[Médiat]

Pour que vous puissiez comprendre la notion d'espaces supplémentaires, vous n'avez pas besoin d'exemple, surtout un exemple aussi trivial, qui ressemble bizarrement à un exercice.

[gg0]

Juste une signification : Dire E=F+G c'est dire que pour tout élément x de E, on peut trouver un élément f de F et un élément g de G tels que f+g=x.

[PlaneteF]

Bonsoir,

Mais la 2eme propriété me semble plus dure à démontrer.

Non, c'est très simple

Comment montrer que F et G sont supplémentaires?

Un indice :



Soit alors une suite convergeant vers .

Je te laisse trouver les bons et

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0de04844]

Merci pour les réponses.
Au fait,ça paraît trivial comme ça mais je ne sais pas comment rédiger,pouvez vous résumer les étapes de raisonnement pour démontrer E=F+G?

[invite0de04844]

moi,j'ai commencer par écrire :
on suppose que u=v+w avec u appartient à E,v appartient à F,w appartient à G.
mais apres....

Bonsoir,







Un indice :



Soit alors une suite convergeant vers .

Je te laisse trouver les bons et

Pour ton indice,si j'écrivais que u=(u-w)+w ça va? après comment je fais?

[PlaneteF]

moi,j'ai commencer par écrire :
on suppose que u=v+w avec u appartient à E,v appartient à F,w appartient à G.
mais apres....

Si tu écris cela, tu es en train de supposer ce que tu veux démontrer !

Il faut démarrer en écrivant :

Soit une suite quelconque qui converge vers .

Comment peux-tu écrire le terme sous la forme: en faisant intervenir la limite ?

Que dois-tu mettre à la place de * pour avoir une suite qui converge vers 0 + suite constante ?

Ne cherche pas midi à 14 heures, c'est immédiat !


N.B. : N'oublie pas de démontrer avant que

[PlaneteF]

Soit une suite quelconque qui converge vers .

En complément de mon message précédent


Pour être plus précis dans la rédaction, on peut écrire :

Soit une suite quelconque .

Donc est une suite convergente. Notons la limite de cette suite.

Cherchons alors 2 suites .


Et tu définis et en t'inspirant de ce que je viens d'écrire dans mon message précédent ...

[invite0de04844]

Ok,merci j'ai compris.
Mais au fait l'idée est de développer (Un) de façon à avoir ce qu'on veux?Mais pour toutes les démonstrations du même type,on fait pareil?on développe un élément de E de façon à faire apparaître un élément de F et un élément de G?
La méthode supposer vient d'une correction d'un exo du même type,ça m'a un peu embrouillé....

[PlaneteF]

Ok,merci j'ai compris.
Mais au fait l'idée est de développer (Un) de façon à avoir ce qu'on veux?Mais pour toutes les démonstrations du même type,on fait pareil?on développe un élément de E de façon à faire apparaître un élément de F et un élément de G?
La méthode supposer vient d'une correction d'un exo du même type,ça m'a un peu embrouillé....

Dans ton exemple, de deux choses l'une :

Soit la décomposition de "te saute aux yeux" et tu peux donc écrire directement : en précisant bien que converge vers (donc ) et est bien une suite constante (donc ).


Soit tu ne le vois pas du 1^er coup et dans ce cas tu peux écrire :

Cherchons et tels que :

avec donc , et donc .


A partir de là tu passes à la limite et tu obtiens :





Donc

Donc et .