Sous-espaces Vectoriels supplémentaires.

[invite40f2f28b]

Bonjour, j'ai un problème avec un exercice de Maths dont voici l'intitulé :

On a deux sous espaces vectoriels de F(R;R) (l'ensemble des fonctions définies de R dans R) :

H = {f € F(R;R) / il existe (a,b) € R² , Pour tout x de R , f(x)=ax+b}.

et G = {f € F(R,R) / f(0)=f(1)=0}

On doit montrer que ce sont deux sous espaces supplémentaires dans F(R,R).

J' ai déjà montré que l'intersection était égale à l'élément neutre. Il me reste à montrer que : F(R,R) = G + H.

En gros, on veut monter que toutes les fonctions de R de R sont décomposables en la somme d'une fonction de H et d'une fonction de G. Et la je bloque.

Merci d'avance de votre aide
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[inviteea028771]

Soit g une fonction quelconque

Alors g(x) = [ g(1)x+g(0) ] + [ g(x) - g(1)x - g(0) ]

IL suffit alors de montrer que la première partie appartient à H et la seconde partie à G, ce qui est assez simple ^^

[invite40f2f28b]

Merci pour cette réponse très rapide. Je suis complétement d'accord avec la première partie, c'est bien une fonction affine. Par contre je ne comprends pas la seconde partie. Par exemple avec g(x) = x + 1 on a pas g(x) - g(1)x - g(0) = 0 pour x = 1. Je trouve -1

[inviteea028771]

Oups, oui, tu as tout à fait raison, j'ai été un poil trop vite ^^

La bonne réponse suit le même principe, mais avec en plus un (1-x) devant le g(0) (pour qu'il disparaisse quand x=1) :

g(x) = [ g(1)x + (1-x)g(0) ] + [ g(x) - g(1)x - (1-x)g(0) ]

= [ (g(1)-g(0))x + g(0) ] + [ g(x) - g(1)x - (1-x)g(0) ]

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite40f2f28b]

Merci beaucoup pour cette aide précieuse =)