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droite vectorielle, sous espaces supplémentaires.



  1. #1
    ash117

    droite vectorielle, sous espaces supplémentaires.


    ------

    Bonjour,

    je pose d'abord l'énoncé du problème auquel je suis confronté:

    P1:"F est la droite vectorielle de R² engendrée par (1;0)"
    P2:"G est la droite vectorielle de R² engendrée par (0;1)"

    a-t-on une somme direct?
    F et G sont ils supplémentaires dans R²?


    J'ai résolu la premiere question ainsi:

    P1--> f={y€E | y= ax, a€R, x=(1;0)} y et x étant des vecteurs
    P2--> G=f={y€E | y= ax, a€R, z=(0;1)} z un vecteur

    --> F"inter"G={y€E | y= ax=bz, a,b€R, x=(1;0), z=(0;1}
    la seule solution est a=b=0 et donc si y appartient à F"inter"G, alors y=0 (vecteurs) donc F"inter"G={0} et ont a bien une somme direct.

    Pour la seconde question, j'ai plus de mal.
    On me dit dans le cours que F et G sont supplémentaires dans R² si R² est la somme direct de F et G . On me dit que R² est la somme direct de F et G si et seulement si il existe un unique couple de vecteurs (y;z)€FxG tel que x=y+z pour tout x de R².

    Dois-je montrer qu'il n'existe pas deux couples ayant cette propriété ici?
    Ca à l'air bête comme ça mais je suis perdu.

    -----

  2. #2
    Thorin

    Re : droite vectorielle, sous espaces supplémentaires.

    En fait, étant donné que tu as démontré qu'ils sont en somme directe, on sait déjà qu'il n'existe pas 2 couples possédant cette propriété.
    Pour montrer qu'ils sont supplémentaires dans R², ce qu'il faut montrer est que pour chaque vecteur de R², il existe au moins un vecteur de F et un vecteur de G tq leur somme soit égale au vecteur de R².
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

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