que ce que c'est que l'algebre?

[invitebfb16758]

que ce que c'est que l'algebre? je veux dire qu'y font t'on
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[ash117]

Bonjour, ta question tombe bien, je débute juste mes cours d'algèbre (linéaire).

Et bien la première chose que l'on fait c'est poser des structures sur les nombres (en gros): ensembles, groupes, anneaux, corps, espaces vectoriels.
On classe les ensembles suivant différentes propriétés.
exemple: la commutativité: l'ensemble des réels muni de la multiplication est commutatif.
C'est à dire que si a et b sont des éléments de R, alors a*b=b*a.

On apprend aussi par exemple que l'addition est dite loi de composition interne de l'ensemble des réels car si l'on additionne deux nombres réels, on obtiendra un réel.

si tu veux d'autres explications, n'hésite pas.
Cordialement,
ash117.

PS: comme je débute, je peux me tromper ou manquer de rigueur.

[erik]

Bonsoir,

Je corrigerai une petite chose : l'algèbre consiste bien à définir des structures, mais pas forcément sur des nombres (et c'est tout l'intérêt de la chose).

Par exemple voici comment est défini la structure "groupe" :

Soit G un ensemble muni d'une opération interne qu'on note * (opération interne : si x et y appartiennent à G alors x*y appartient à G)

Alors G est un groupe si :
1/ * est associative : pour x,y,z élément de G on a (x*y)*z=x*(y*z)

2/ Il existe un élément de G, e tel que x*e=e*x=x (c'est l'élément neutre)

3/ Pour tout x élément de G, il existe un x' élément de G tel que x*x'=x'*x=e (existence d'un inverse)


Les éléments de G peuvent être n'importe quel "objet mathématique" : des nombres, des fonctions, des matrices ..... du moment que les 3 axiomes sont vérifiés.
Si bien qu'un théorème démontré pour les groupes en général, sera valable pour un groupe de fonction, pour un groupe de matrice, bref pour un groupe de ce qu'on veux.
C'est l'intérêt de la chose une seule démonstration à faire et le théorème est applicable à une foule "d'objets" différents

[ash117]

oui j'ai dit des nombres, pour simplifier, comme je ne connais pas le niveau de mon interlocuteur et que j'ai eu 1 heure de cours dessus.j'aurais du dire après " (en très gros)".Mais merci de m'avoir repris.

cordialement,
ash117.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Thorin]

juste pour donner un exemple supplémentaire : on peut aussi définir des lois sur des ensembles, telles que les parties d'un ensemble.

Et un ou deux exemple de lois qu'on peut définir, pour manipuler tous ces objets entre eux : si on travaille avec des ensembles, on remarque que "l'union" de deux parties d'un ensemble est une loi de groupe ; si on travaille sur des applications, on peut travailler avec la loi "rond" (la composition), etc.. En bref, on n'est pas réduit à la simple addition et multiplications de deux nombres entre eux. On est amenés à essayer de définir d'autres façons pour manier les objets entre eux, et à les classer selon leurs propriétés.