Bonjour,
On me demande d'établir la formule d'approximation cos x ~ 1-x²/2 à l'aide de la formule de MacLaurin et d'estimer l'erreur si |x|<0,1.
La formule à utiliser est Rn+1 = (f(n+1)'(c)/(n+1)!).(x-x0)(n+1)
Je trouve que les polynômes de Taylor de degré 2 et 3 de la fonction f(x)=cos x au point x0=0 sont égales à 1-x²/2. Après je ne sais pas comment faire, lequel des deux est à utiliser dans la formule d'approximation?
Merci d'avance pour votre aide!
Bonsoir.
Comme on a encore la bonne formule à l'ordre 3, il vaut mieux prendre l'ordre 3, la précision sera meilleure.
Cordialement.
Pourquoi la précision sera meilleure si on prends l'ordre 3?
Merci pour votre réponse
Essaie les deux, tu verras bien.
Argh je bloque de nouveau: pourquoi est ce que dans la formule d'approximation Rn+1 = (f(n+1)'(c)/(n+1)!).(x-x0)(n+1)
je dois considérer c=0?
Bonjour.
Je ne sais pas trop ce que tu as calculé (ou ce que tu lis), mais l'idée est probablement de majorer l'erreur. Donc on va chercher un majorant de. Et comme pour n=3 c'est une fonction décroissante ...
Cordialement.
NB : Si tu veux plus d'explications, il faut que tu donnes tes calculs. J'essaie de raisonner sans savoir, mais ça a des limites !!
En fait j'essaie de comprendre le corrigé d'un exercice où on me demande d' "établir la formule d'approximation cos x ~ 1-x²/2 à l'aide de la formule de McLaurin et d'estimer l'erreur si |x|<0,1"
Avec la formule de McLaurin je trouve que le polynome de degré 3 de la fonction f(x)=cos x en x0=0 vaut: f(x0) + f'(x0)(x-x0) + (f''(x)(x-x0)²)/2! + (f'''(x)(x-x0)³)/3! = cos 0 - sin0 (x-0) - 1/2 cos0(x-0)² - 1/6 sin0 (x-0)³ = 1 - x²/2
Ensuite j'utilise la formule d'approximation
Rn+1 (x)= (f(n+1)'(c)/(n+1)!).(x-x0)(n+1)
R4(x) = f''''(c).(1/4!).(x-x0)4
Mais que vaut c?? Dans le corrigé ils disent: "On a f(x)=cos x, f'(x)=-sin x, f''(x)=-cos x, f'''(x)= sin x, f''''(x)=cos x. Comme f'''(0)=0, 1-x²/2 est en effet le polynome de Taylor de degré 3; et c doit maximiser f''''(x) dans l'intervalle en question, donc c=0. Alors
E= cos(0).(1/4!).(0,1)4 = 4,166.10-6"
En fait je comprends pas le raisonnement...
En fait, on veut maximiser la valeur absolue de l'erreur? Ici :
R4(x) = f''''(c).(1/4!).(x-0)4
Donc |R4(x)| = |f''''(c)|.(1/4!).x4
X est la variable, on ne peut donc pas le toucher, (1/4!) non plus, c'est une constante. reste le f""(c), mais justement, c'est facile, c est entre 0 et x, donc près de 0. Connais-tu un majorant de cos(x) au voisinage de 0 ? Eh oui, c'est ?? = cos( ?)
Et on trouve |R4(x)| <= x4 .(1/4!).
Cordialement.
NB : N'aurais-tu pas pu le trouver toi-même, sachant que tu cherches à majorer l'erreur ?
Je comprends rien
Qu'est ce que ça veut dire maximiser la valeur absolue de l'erreur? Et d'où on sait que c est entre 0 et x? Un majorant de cos (x) c'est cos(0)=1? :s
Bonjour,Envoyé par Meadowlark
Au passage: le "vrai" c on le connait pas. La formule du reste dit qu'il y a un c entre 0 et x qui donne le reste exacte de la fonction, la somme de tous les termes negligés.
En prenant la plus grande valeure de R4 pour un c entre 0 et x tu est sûr que le "vrai" c donne une erreur plus petite, le reste est dit par gg0.
Bonne journée
Ok super je crois que j'ai compris!
Un grand merci à tous et bonne soirée
