Développé d'une cycloide

[sebatlante]

Bonsoir,
j'ai du mal a calculer la développé d'une courbe(la même que dans mon dernier post) :


les dérivées première et seconde sont :

et


je commence par calculer le rayon de courbure(non algébrique) :
:

petite remarque : sur certain sites web on voit plutôt le sinus mais ça vient du fait que pour ces site la composante de gamma sur x contient un signe - :

.

Ensuite je calcul le vecteur tangent :

je trouve: (l'indice est la composante m'a t'on appris!)
et

je calcul ensuite le vecteur normal N du repère de Frenet par la matrice de rotation

et donc et

ensuite pour l’équation de la développé qui est le lieu du centre de courbure que je note C j'applique

et j'obtiens et

pour simplifier un peu si je prend w=R=1 :

et
et

je problème c'est que graphiquement ça donne pas une cycloïde ce qui devrait être le cas car la développé d'une cycloïde est une cycloïde.

est-ce une erreur de calcul (recommencé plusieurs fois...) ou un problème dans ma méthode?

merci d'avance
-----

[0577]

Bonsoir,
il y a une erreur sur la façon d'obtenir le vecteur normal. (T,N) devant former un repère direct, on doit avoir : N_x = - T_y
et N_y = T_x. Autrement dit, il faut appliquer à T une rotation d'angle pi/2 (et pas -\pi/2, il faut transposer la matrice ...).
Si pour simplifier on fait w=R=1, on obtient N_x = -sin(t/2) et N_y = cos(t/2). La formule pour la courbure est correcte :
4 cos(t/2).
En mettant tout ensemble, on trouve pour équations de la développée x = t-sin(t) et y=1+cos(t) qui est bien une cycloide
(c'est la cycloide de départ translatée d'une demi-période)

[sebatlante]

a oui effectivement merci beaucoup.
et juste une autre question : pour obtenir le vecteur N en 3dimensions (pour le repere de frenet T,N,B) on doit faire une rotation par rapport à l'axe des z je suppose? a savoir utiliser la matrice de rotation :

[sebatlante]

a oui effectivement merci beaucoup.
et juste une autre question : pour obtenir le vecteur N en 3dimensions (pour le repere de frenet T,N,B) on doit faire une rotation par rapport à l'axe des z je suppose? a savoir utiliser la matrice de rotation :

non en faite c'est faux sauf si le vecteur tangent a comme troisième composante(sur z) zéro

[A voir en vidéo sur Futura]

[God's Breath]

En dimensions supérieures, le vecteur N du repère de Frenet doit appartenir au plan osculateur ; on le détermine dir :