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Développé d'une cycloide



  1. #1
    sebatlante

    Développé d'une cycloide


    ------

    Bonsoir,
    j'ai du mal a calculer la développé d'une courbe(la même que dans mon dernier post) :


    les dérivées première et seconde sont :

    et


    je commence par calculer le rayon de courbure(non algébrique) :
    :
    petite remarque : sur certain sites web on voit plutôt le sinus mais ça vient du fait que pour ces site la composante de gamma sur x contient un signe - :
    .

    Ensuite je calcul le vecteur tangent :

    je trouve: (l'indice est la composante m'a t'on appris!)
    et

    je calcul ensuite le vecteur normal N du repère de Frenet par la matrice de rotation

    et donc et

    ensuite pour l’équation de la développé qui est le lieu du centre de courbure que je note C j'applique

    et j'obtiens et

    pour simplifier un peu si je prend w=R=1 :

    et
    et
    je problème c'est que graphiquement ça donne pas une cycloïde ce qui devrait être le cas car la développé d'une cycloïde est une cycloïde.

    est-ce une erreur de calcul (recommencé plusieurs fois...) ou un problème dans ma méthode?

    merci d'avance

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    0577

    Re : développé d'une cycloide

    Bonsoir,
    il y a une erreur sur la façon d'obtenir le vecteur normal. (T,N) devant former un repère direct, on doit avoir : N_x = - T_y
    et N_y = T_x. Autrement dit, il faut appliquer à T une rotation d'angle pi/2 (et pas -\pi/2, il faut transposer la matrice ...).
    Si pour simplifier on fait w=R=1, on obtient N_x = -sin(t/2) et N_y = cos(t/2). La formule pour la courbure est correcte :
    4 cos(t/2).
    En mettant tout ensemble, on trouve pour équations de la développée x = t-sin(t) et y=1+cos(t) qui est bien une cycloide
    (c'est la cycloide de départ translatée d'une demi-période)

  4. #3
    sebatlante

    Re : développé d'une cycloide

    a oui effectivement merci beaucoup.
    et juste une autre question : pour obtenir le vecteur N en 3dimensions (pour le repere de frenet T,N,B) on doit faire une rotation par rapport à l'axe des z je suppose? a savoir utiliser la matrice de rotation :

  5. #4
    sebatlante

    Re : développé d'une cycloide

    Citation Envoyé par sebatlante Voir le message
    a oui effectivement merci beaucoup.
    et juste une autre question : pour obtenir le vecteur N en 3dimensions (pour le repere de frenet T,N,B) on doit faire une rotation par rapport à l'axe des z je suppose? a savoir utiliser la matrice de rotation :
    non en faite c'est faux sauf si le vecteur tangent a comme troisième composante(sur z) zéro

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    God's Breath

    Re : développé d'une cycloide

    En dimensions supérieures, le vecteur N du repère de Frenet doit appartenir au plan osculateur ; on le détermine dir :

    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

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