Bonjour ! Je suis face a un probleme, on m'a demandé se resoudre :
max f(x,y)=-x^2-y^2
Par la methode du lagrangien, sous la contrainte
H(x,y)=3x+4y=25
Mais je ne sais pas par ou commencer. Et vu que ca fait un bail que jai vu ca, je ne retrouve plus mes cours de fac :/ un petit eclaircissement s'il vous plait ?
Bonsoir,
une première remarque : résoudre le problème posé est tout à fait élémentaire. En effet, on peut grâce à la première équation exprimer y en fonction de x,
reporter dans la deuxième équation et on se retrouve à maximiser un polynôme du second degré ...
Néanmoins, la méthode des multiplicateurs de Lagrange est quelque chose d'important et on peut essayer de l'appliquer à cet exemple simple.
Rappel : soit f une fonction à maximiser sous la contrainte H, alors si un tel maximum existe les gradients de f et de H en ce points sont nécessairement
proportionnels (pour retrouver ce résultat, faire un dessin : tracé un chemin sur le flanc d'une colline et regarder le point du chemin d'altitude maximale ...).
Concrètement, si (x,y) est une solution au problème, il existe L tel que grad f (x,y) = L grad H(x,y) (L s'appelle le multiplicateur de Lagrange).
Dans notre exemple, cela s'écrit -2x = 3L et -2y = 4L. Si on exprime x et y en fonction de L et qu'on reporte dans la première équation, on trouve
L = -2 d'où x = 3 et y = 4.
Attention, ce n'est pas fini, la proportionnalité des gradients est une condition nécessaire mais pas suffisante pour qu'il existe un maximum en (x,y) (on a par exemple la même relation en un minimum). Une manière de conclure est de montrer qu'il existe un maximum (argument de compacité) et puisqu'on a trouvé un
unique point où les gradients sont proportionnels, il s'agit nécessairement du maximum.
Conclusion : x=3,y=4, max f = -25 (et la première méthode donne le même résultat : ouf ...)
Dernière modification par 0577 ; 09/05/2012 à 23h24.
fiouh ! Merci bcp pour l'explication, et d'y avoir pris la peine de l'écrire. j'avais retrouvé mes cours entre-temps, j'ai pu un peu me debrouiller et ouvrir quelques tiroirs "Fac" mais cette explication m'a éclairé ! merci
