Etude de fonction sur R²

[invite6937254f]

Bonjour tout le monde,
voilà j'ai un petit exo, j'aimerais savoir si ma rédaction est suffisante et j'ai également quelques doutes sur certaines questions.
Je vous donne déjà l'énoncé :
On a la fonction définie sur R² \(0,0) : (x³y)/(x⁴+y²) qu'on prolonge de la façon suivante: f(0,0)=0

Questions:
a) Est-ce que la fonction est continue sur R²?
- Alors ici je ne suis pas sûr qu'on peut admettre d'office que la fonction est prolongeable par continuité en 0, d'après l'énoncé ("qu'on prolonge") ou si il faut le prouver.
Sinon le dénominateur et le numérateur sont des fonctions continues sur R², leur quotient est continu sur R²\(0,0) .De plus (si admis), la fonction est prolongée par continuité en 0, donc f est continue sur R².
(Autrement je m'arrangerais pour faire la limite en 0 et prouver que c'est prolongeable)

b)Est-ce que la fonction admet des dérivées partielles sur R² \ 0,0? En 0,0? Est-ce qu'elles sont continues sur R²?
-f est une fonction définie et continue sur R²\0,0 elle admet donc des dérivées partielles sur R²\0,0
-df(0,0)/dx est, si elle existe, la dérivée en x=0 de f(.,0) : x->f(x,0).
Or pour tout x=/=0 f(x,0)=0, ce qui est vrai pour x=0 et donc puisque f(.,0) est constante, elle est dérivable en 0 de dérivée 0. D'où: df(0,0)/dx existe et vaut 0.
Même raisonnement pour df(0,0)/dy
-Pour vérifier si elles sont continues sur R²:
Déjà je prouve qu'elles sont continues sur R²\(0,0) de la même manière que pour f. Pour prouver qu'elles le sont également en 0,0; je pose x=y et je fais tendre x vers 0
pour df/dx en 0 je trouve une limite de 1 (donc continue en 0 0 ?)
pour df/dy en 0 je trouve une limite de -1 (donc continue en 0 0?)

c) On pose g=df/dx et h = df/dy. Répondre aux mêmes questions pour ces deux fonctions (continuité et dérivabilité)

-même raisonnement que précédemment ..

d) Est ce qu'on a dg/dy =dh/dy?
Je n'ai pas encore vérifié et je ne comprends pas vraiment ce qu'on cherche à nous montrer si cette égalité est vérifié ou non ... J'aimerais juste, si possible, que vous m'expliquiez ce qu'on attend de moi dans cette question.


Voilà voilà,
je vous remercie beaucoup d'avance d'avoir pris le temps de me lire et d'avoir apporté quelques remarques sur mes réponses !

bonne journée/soirée
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[Seirios]

Bonsoir,

Juste quelques remarques en passant :

Alors ici je ne suis pas sûr qu'on peut admettre d'office que la fonction est prolongeable par continuité en 0, d'après l'énoncé ("qu'on prolonge") ou si il faut le prouver.

L'énoncé ne parle pas de prolongement par continuité, donc il faut bien prouver la continuité.

-f est une fonction définie et continue sur R²\0,0 elle admet donc des dérivées partielles sur R²\0,0

Tu es sûr de toi ?

[invite6937254f]

merci pour ta réponse.
donc je suis censé calculer le taux de variation de f ou bien un calcul des dérivées partielles suffit(tout en prouvant qu'elles sont bien définies)?

et pour la question d? j'ai pensé à un lien avec le principe de symétrie de Schwarz mais en dérivant que par y je vois pas le rapport..

[gg0]

Tu es déjà censé prouver que la fonction est continue ailleurs qu'en (0,0). Avec des théorèmes de ton cours. Puis qu'elle est continue (ou pas) en (0,0). Avec des théorèmes de ton cours.

Ensuite, toujours avec des théorèmes de ton cours, tu dois étudier la différentiabilité.

Bon travail !

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