adjoint

[invite371ae0af]

bonjour,

Je prend u un endomorphisme unitaire et B la base canonique de R^3

mat_Bu=A

comme u est unitaire on a

mais peut-on dire que l'adjoint de u noté u* est ? si oui pourquoi?


merci de votre aide
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Quelle est la définition d'un endomorphisme unitaire ? la définition de l'adjoint ?

[invite371ae0af]

un endomorphisme unitaire: u^(-1)=u

et pour l'adjoint: <u(x),y>=<x,u*(y)>

[invite57a1e779]

un endomorphisme unitaire: u^(-1)=u

Cela ne correspond pas à la relation matricielle A^-1=A^*. Tu donnes en fait la définition d'une involution.

En fait il suffit que tu prouves que la définition d'un endomorphisme unitaire se ramène à :

pour tout couple (x,y) d'éléments de R³, <u(x),y>=<x,u^-1(y)>

pour en déduire que u^-1=u^*.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite371ae0af]

en faites j'avais un théorème pour u orthogonal

u orthogonal ssi u*=u^(-1)

du coup je remet ca dans le cas complexe

[invite57a1e779]

Il y a effectivement un parallèle entre les deux situations.
Pour le voir, compare:
– le paragraphe 12.5.4 de cette page dans le cas euclidien ;
– le paragraphe 13.4.3 de cette page dans le cas hermitien.

Encore faut-il avoir la bonne définition d'un endomorphisme unitaire.

[invite371ae0af]

d'accord merci