Petite question sur DL

[inviteda3529a9]

Bonjour à tous
savez vous comment calculer: (x est un réel strictement positif)
le développement limité de (1/x)*int(dt/sqrt(1+t^4),t,0,x) en 0 à l'ordre 4 ???

Et la dérivée de (1/x)*int(dt/sqrt(1+t^4),t,0,x) en 0 ???
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[Tiky]

Bonjour,

Soit une fonction continue sur . Quelle est la dérivée de la fonction ?

[inviteda3529a9]

c'est f(x)-f(0) mais ...

[inviteda3529a9]

Aidez moi s'il vous plaît. Je ne vois pas comment répondre à ces trois questions.
Merci d'avance

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tiky]

Ah bon ? C'est plutôt f(x)...

Maintenant si tu connais la formule de Taylor-Young et si tu sais dériver un produit, c'est facile non ?

[inviteda3529a9]

Merci beaucoup. Cependant comment sortir le terme qui nous intéresse de la somme avec la formule de Taylor ? Et que faire du terme 1/x ??? Merci d'avance

[inviteda3529a9]

Grâce à Taylor j'ai F'(0)=(1/x)(F(x)-F(0)) mais comment avoir la valeur ? Il me semble que c'est 0
Je sais que le développement limite à l'ordre 4 en 0 est: 1+x^4/10+°(x^4) mais je n'arrive pas à le demontrer.
Avec ce résultat, je peux faire le taux d'accroissement et montrer que la limite, quand h tend vers 0 que la dérive en 0 est nulle.
Cependant pourriez vous m'aider à trouver ce développement limite ?
Et la dérivée avec la formule de Taylor également afin que je puisse avoir 2 méthodes s'il vous plaît ?

Merci d'avance

[Tiky]

Oui effectivement on ne peut pas utiliser immédiatement la formule. Posons :


Alors il faut montrer que
Puis

Tu en déduis que G se prolonge en une fonction sur et que G'(0) = 0.
Tu recommences ainsi de suite puis tu utilises la formule de Taylor-Young :


Note que tu peux trouver une primitive explicite de 1/(1+t^4).

[inviteda3529a9]

Ok. J'ai la limite de G quand x tend vers 0
Ceci dit comment obtenir la limite pour G' puisque je ne connais pas son expression ?
Concernant le DL, je dois calculer toutes les dérivées de G jusqu'à 4 ? Ne peut on pas utiliser un critère de parité ?
Nb: comment calculer ces dérivées successives ???

Merci d'avance

[inviteda3529a9]

La primitive de 1/(1+t^4) est plutôt long à calculer et ne nous apporte aucune aide, non?

[Tiky]

Si tu connais l'expression de G'(x) pour x > 0, je t'ai dit comment faire au début du fil.
La parité peut servir mais tu dois quand même justifier l'existence de la limite alors car tu ne sais pas a priori si elle est dérivable en 0.

[inviteda3529a9]

Avec Taylor ? Mais comment ???
Pourriez vous m'aider un peu plus pour le développement limite ?