Différentiabilité et dérivées directionnelles

[invite459a9f46]

Bonjour à tous,

Je viens sur le forum car j'ai un travail d'analyse à rendre pour la semaine prochaine. Je suis en première année, orientation physique.
Je bloque sur une question, et j'ai besoin de vous

On a une fonction f : R²->R, définie par

1 si yarctan(x)
si y=arctan(x)

La question étant :
a) Étudiez la continuité de la fonction au point (1,pi/4)
b) Montrez qu'en ce point là, la fonction f possède des dérivées directionnelles dans toutes les directions
c) Étudiez la différentiabilité de la fonction au point (1,pi/4)

J'ai déjà résolu les deux premiers points sans trop de soucis. Seulement je sèche pour la différentiabilité. En effet, en calculant la dérivée partielle de la fonction selon x, je trouve que



Ce qui me donne donc 0 comme candidat différentiel pour la fonction. Je cherche donc à montrer qu'il est possible d'obtenir une valeur différente de 0 pour la limite suivante (définition de la différentielle) :



Est-ce une manière correcte de raisonner? Si oui, je bloque pour calculer cette limite là, je vois vraiment pas comment faire...
Merci d'avance pour votre aide!

Cédric
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[invite191682dc]

Sachant déjà que la fonction n'est pas différentiable en ce point (par l'intuition), il ne resterait plus qu'à montrer que cette dernière limite que tu as donnée est non-nulle.

On pourrait essayer de prendre deux "chemins" différents menant à et montrer que la limite est différente pour les 2 chemins. Si on prend 1 chemin x=1 et y=t avec t tendant vers on a une limite de 0 et en suivant la courbe x=x et y = arctg x, il nous suffirait de trouver autre chose et ce serait fini... Sauf que c'est une limite assez "dégoutante"...

Quelqu'un aurait-il une autre idée ?