Qu'est-ce que Ker F, Im f , dim f d'une matrice ?

[invite52c71e1f]

bonjour,
en algèbre il y a une partie que je n'ai pas du tout compris enfin du moins j'ai pas trouvé d'explication clair sur le net et cours :

Soit f l'endomorphisme associé a la matrice M : que l'ont va prendre comme support pour mes questions.

* qu'est ce que ker f (noyau) d'une matrice ? comment fait-on pour la trouver ?
quelle est le rapport avec det M ?
*ca veut dire quoi "dim ker f" ? (je sais que dim=dimensions) comment procede-t-on pour la trouver ?
*qu'est ce qu'une base B0 de ker f? une base en general et Im f.

Merci de votre aide.
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[gg0]

Bonjour.

Déjà, il y a une infinité d'endomorphismes qui ont cette matrice dans des bases données. S'agit-il de travail dans et avec sa base canonique ?
Mais en tout cas, ker f est le noyau de f (donc il faut le connaître !) et la suite est de la même eau.
Donc il y a sans doute des éléments supplémentaires que tu n'as pas donnés.

Cordialement.

[taladris]

Salut,

pour enfoncer le clou sur ce qu'a dit gg0: la matrice d'une application linéaire n'a pas de sens a priori. Ce qui est vrai, c'est que si f est une application linéaire entre deux espaces vectoriels de dimension finie E et F et étant données une base B de E et une base C de F, on peut définir la matrice de f dans les bases B et C.

Parfois, si E=R^n et F=R^m, on choisit implicitement B et C comme les bases canoniques de ces espaces, et on parle de "la" matrice de f (ou de la matrice standard de f). Mais je trouve que cette terminologie prête à confusion.

Réciproquement, il faut faire attention quand on parle de l'application linéaire associée à une matrice. Il peut exister des espaces vectoriels très différents, des bases différentes et des applications linéaires distinctes f et g ayant pourtant la même matrice dans leurs bases respectives. Cependant, en général, quand on parle de "l'application linéaire associée à une matrice M" (de taille (m,n) ), on parle de l'application f:R^n -> R^m définie par f(x)=Mx. Mais n'oublie pas qu'il y a une ambiguïté (ou au moins un choix implicite) dans cette définition.



Ceci étant dit, si f:E->F est une application linéaire (indépendamment de toute matrice), alors Ker(f) est l'ensemble des vecteurs de E tels que f(x)=0. C'est un sous-espace de E et donc il a une dimension comme tout espace vectoriel. Pour la trouver, on peut trouver une base de Ker(f). Ou bien, si E est de dimension finie et qu'on connait le rang de f, on peut utiliser le rang. Une BO est une base orthogonale (mais il faut un produit scalaire sur E pour que cela soit définie). Im(f) est l'ensemble des images par f des vecteurs de x.

A priori, si E et F sont de dimension finie, et M la matrice de f dans des bases B et C, det(M) n'est pas définie (si E et F n'ont pas la même dimension). Si dim(E)=dim(F), alors f est un automorphisme si et seulement si f est injective si et seulement si f est surjective si et seulement si det(M) est non nul.

[invite52c71e1f]

merci de m'avoir expliquer sous forme de cours, j'en ai deja lu d'autre je voudrais des exemples numerique pour savoir comment on fait ?
je voudrais avoir ce qu'est une base et noyau d'une matrice avec un exmple svp

cordialement

PS: oui c R"3 mais faut déterminer sa base canonique a l'aide de ker f que je ne sais pas c'est quoi

[A voir en vidéo sur Futura]

[taladris]

merci de m'avoir expliquer sous forme de cours, j'en ai deja lu d'autre je voudrais des exemples numerique pour savoir comment on fait ?
je voudrais avoir ce qu'est une base et noyau d'une matrice avec un exmple svp

cordialement

J'avoue que j'ai la flemme de rédiger un exemple complet ^^. D'autant plus que tu peux en trouver plein dans des livres ou des pdf sur Internet. Du coup, on va considérer la matrice de ton premier message et c'est toi qui va faire les calculs .

On appelle f l'application linéaire de R^3 dans R^3 définie par f(x)=Mx. Alors le noyau de f est l'ensemble des vecteurs x de R^3 tels que Mx=0. C'est un système linéaire que tu dois savoir résoudre. Quelle(s) solution(s) trouves-tu?

Quel est le rang de f? Quel est le déterminant de M?

PS: oui c R"3 mais faut déterminer sa base canonique a l'aide de ker f que je ne sais pas c'est quoi

Déterminer la base canonique ne veut rien dire. La base canonique de R^3 est constituée (par définition) des vecteurs (1,0,0), (0,1,0) et (0,0,1). C'est une base particulière de R^3 parmi toutes les bases car elle apparaît "naturellement". Ce qu'on te demande est de déterminer une base de Ker(f).