a,b,c éléments de Z tels que a^2+b^2=c^2

[invite46e41aed]

Bonjour,
je bute sur l'exercice suivant : a,b,c éléments de Z tels que a^2+b^2=c^2.
J'ai déjà remarqué que le reste de la division euclidienne d'un carré parfait (n^2, n élément de Z)par 4 est 1 si n est impair, 0 si n est pair.
Donc a et b ne peuvent pas être tous les deux impairs ( on considère les restes par la division euclidienne de 4 : reste de c^2=reste de b^2+reste de c^2, or le reste de c^2 vaut 1 ou 0).

Après ces manipulations je ne sais pas quoi faire d'autre, un disjonction de cas suivant que a et b soient pairs ou seulement un des deux?

Merci d'avance. Cordialement.
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[invite76543456789]

Salut!
J'imagine que tu t'es ramené au cas ou a,b et c sont premiers entre eux deux a deux.
Donc necessairement a et pair, b est impair et c impair (quitte a echanger a et b).
Maintenant tu peux factoriser l'equation a²=c²-b²=(c-b)(c+b) et en déduire des conditions sur c et b.

[invite76543456789]

Au passage, une manière plus conceptuelle de résoudre le probleme est de connaitre un peu l'arithmétique de Q[i].

[invite46e41aed]

J'imagine que tu t'es ramené au cas ou a,b et c sont premiers entre eux deux a deux.

J'ai pas compris la simplification effectuée, si a et b sont pairs alors il existe u,v élément de Z tel que a=2u et b=2v.
donc 4u²+4v²=c². Et après?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite76543456789]

Ce que je dis, c'est qu'on peut se ramener facilement au cas ou a,b et c sont deux a deux premiers entre eux (je pensais que tu l'avais fait).
En effet tu peux d'abord diviser par le pgcd des 3 nombres, et on peut supposer que a, b et c n'ont aucun diviseur commun.
Ensuite si d est un diviseur premier de a et b , alors d² divise a²+b² et donc c², donc d divise c² et donc d divise c, donc d=1, de la meme facon si d est un diviseur premier de b et c, ou a et c.

Donc a,b et c sont deux a deux premiers entre eux. Comme tu l'as remarqué a et b ne peuvent etre simultanément impair, et du coup il ne peuvent pas etre simultanément pair non plus, donc tu es dans le cas ou un exactement parmi a et b est impair et l'autre est pair, c est necessairement impair.

[invite46e41aed]

Un grand Merci !
J'arrive bien à montrer que a,b,et c sont premiers deux à deux.
Donc quitte à échanger a et b, supposons a pair et b impair. Dans tous les cas c est impair.
a²=c²-b²
=(c-b)(c+b).
Or c-b et c+b sont pairs puisque c et b sont impairs. Il existe donc p et q éléments de N* tels que: c-b=2p et c+b=2q. On a donc a²=4pq.
J'ai l'impression que je n'arrive pas assez à caractériser p et q pour pouvoir bien décrire ensuite a,b, et c. Que manque-t-il?

[invite76543456789]

Quel est le pgcd de p et q?

[invite46e41aed]

Je me doute que pgcd(p,q)=1 ce qui reviendrait à dire que pgcd(b,c)=2, or je ne vois pas comment établir cette relation .

[invite76543456789]

Prend d un diviseur premier commun a p et q, alors 2d divise 2p et 2q, donc leur somme et leur difference.

[invite46e41aed]

Je me doute que pgcd(p,q)=1 ce qui reviendrait à dire que pgcd(b,c)=2,

C'est faux, pgcd(p,q) est équivalent à pgcd(2c,2b)=2.

[invite46e41aed]

Encore Merci Miss je trouve donc que pet q sont premiers entre eux.
J'injecte dans a²=c²-b², d'ou a²=4pq. a=+ou- 2racinecarrée(pq). Mais il faut que a soit un élément de Z. Comment intégrer cette condition?

[invite76543456789]

Comme p et q sont premiers entre eux, 4pq est un carré implique que p et q sont des carrés (examine la décomposition en nombre premiers si tu veux t'en convaincre).

[invite46e41aed]

Comme p et q sont premiers entre eux, 4pq est un carré implique que p et q sont des carrés (examine la décomposition en nombre premiers si tu veux t'en convaincre).

Pourrais-tu préciser? Pourquoi 4pq soit un carré parfait implique que p et q sont aussi des carrés parfaits. Je vois peut-etre comment utiliser la décomposition en facteur premier: comme 4pq est un carré il faut que l'exposant de chaque facteur soit pair, comme p et q sont premiers entre eux ils n'ont aucun facteur premier en commun) donc nécessairement l'exposant de la décomposition des facteurs de p et de q est pair, d'où p et q sont des carrés parfaits?