Bonjour,
Je suis à la recherche d'un cours concernant les méthodes de résolution d'exercices du genre "Déterminer l'ensemble des points M du plan tels que vect AM.vect u = k où k est un réel", ou encore MA/MB = k (réel positif). Il y a plusieurs cas d'exercices, et je vous serais reconnaissant de m'aider à les analyser. Ce genre d'exercices est toujours en relation avec le produit scalaire, moins souvent avec le barycentre.
Merci.
Bonjour,
Si A est un point défini dans le plan, de coordonnéeset
Si
Si
En conclusion, l'ensemble des points M définies par
Pour ta deuxième question, qu'entends-tu par "MA/MB" ? Le quotient des normes des vecteurs ?
Dernière modification par NicoEnac ; 16/12/2010 à 08h32.
"Quand les gens sont de mon avis, il me semble que je dois avoir tort."O.Wilde
Tout d'abord merci beaucoup pour votre réponse.
En effet, MA/MB est le quotient de la distance MA divisée par la distance MB, où A et B sont deux points du plan de coordonnées données.
Connaîtreriez-vous aussi d'autres problèmes invoquant l'ensemble de points (par exemple : déterminer l'ensemble des points M du plan tels que MA2 (MA carré) - MB2 (MB carré) = k, où k est un réel) et leurs solutions ? Il y a sans doute bien d'autres cas que ceux que nous avons évoqués précédemment.
Merci.
Aux temps heureux où les lycéens savaient de la géométrie, ils connaissaient le théorème disant que les bissectrices en M du triangle MAB déterminent sur le segment AB des points I et J tels que les distances IA et IB proportionnelles à MA et MB donc que si MA/MB=Cte, IA/IB = Cte, donc M est sur le cercle de diamètre IJ.
Maintenant que le niveau a beaucoup monté, on peut remarquer que si MA/MB=k, MA²/MB²=k² et il est facile de prendre les coordonnées (x;y) de M, (xA;yA) pour A, (xB;yB) pour B et on trouve bien entendu un cercle.
Merci bien pour votre réponse, Jean-Paul.
Y aurait-il d'autres problèmes du même genre ? Ce sont les seuls que je connais, et pour tout vous dire, j'aurais besoin d'en connaître autant de que possibles.
Merci.
Il y a aussi MA + MB = Cte (ellipse) et MA - MB = Cte (hyperbole), MA²+MB² = Cte (cercle), MA.MB= Cte (lemniscate).
Les gens se sont bien amusés au cours des siècles avec ça.
Merci pour vos indications. Les problèmes que vous y évoquez semblent être les derniers à résoudre pour que je puisse compléter mon cours.
Auriez-vous des indices de solutions, si ce n'est les solutions entières, pour chacun des cas évoqués ci-dessus ?
Merci.
La méthode est toujours la même : calculer MA comme la racine de (x - xA)² + (y - yA)² et pareil pour MB.
On élève l'équation au carré de manière judicieuse et ça donne une équation, souvent du second degré en x et y, ça peut être un cercle, une ellipse ou une hyperbole.
Parfois c'est plus compliqué (lemniscate).
Exemple de l'ellipse : MA = 2 L - MB donc MA²=4L² + MB² - 4L MB
4 L MB = MA² - MB² - 4 L² et on voit que les termes en x² et y² se simplifient.
On réélève au carré : 16 L² MB² = carré d'un polynôme où il n'y a que des x, des y et des constantes mais ni x², ni y², ni z² donc ça va donner une équation du second degré avec des x², des y² et des xy. Avec un choix judicieux de xA, yA, xB et yB, plus de xy, c'est l'équation classique de l'ellipse : x²/a² + y²/b² = 1
Fais-le, c'est assez simple.
Dernière modification par Jeanpaul ; 16/12/2010 à 21h57.
