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Ensemble de points M tels que...



  1. #1
    isma.lem

    Ensemble de points M tels que...


    ------

    Bonjour,

    Je suis à la recherche d'un cours concernant les méthodes de résolution d'exercices du genre "Déterminer l'ensemble des points M du plan tels que vect AM.vect u = k où k est un réel", ou encore MA/MB = k (réel positif). Il y a plusieurs cas d'exercices, et je vous serais reconnaissant de m'aider à les analyser. Ce genre d'exercices est toujours en relation avec le produit scalaire, moins souvent avec le barycentre.

    Merci.

    -----

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  3. #2
    NicoEnac

    Re : Ensemble de points M tels que...

    Bonjour,

    Si A est un point défini dans le plan, de coordonnées et un vecteur de coordonnées , l'ensemble des points M de coordonnées définis par est défini par :
    ce qui donne
    Si non nul :
    qui est une équation de droite de type y = m.x +p
    Si nul :
    qui est l'équation d'une droite verticale.

    En conclusion, l'ensemble des points M définies par est une droite dont les coefficients sont donnés ci-dessus.

    Pour ta deuxième question, qu'entends-tu par "MA/MB" ? Le quotient des normes des vecteurs ?
    Dernière modification par NicoEnac ; 16/12/2010 à 08h32.
    "Quand les gens sont de mon avis, il me semble que je dois avoir tort."O.Wilde

  4. #3
    isma.lem

    Re : Ensemble de points M tels que...

    Tout d'abord merci beaucoup pour votre réponse.
    En effet, MA/MB est le quotient de la distance MA divisée par la distance MB, où A et B sont deux points du plan de coordonnées données.
    Connaîtreriez-vous aussi d'autres problèmes invoquant l'ensemble de points (par exemple : déterminer l'ensemble des points M du plan tels que MA2 (MA carré) - MB2 (MB carré) = k, où k est un réel) et leurs solutions ? Il y a sans doute bien d'autres cas que ceux que nous avons évoqués précédemment.

    Merci.

  5. #4
    Jeanpaul

    Re : Ensemble de points M tels que...

    Aux temps heureux où les lycéens savaient de la géométrie, ils connaissaient le théorème disant que les bissectrices en M du triangle MAB déterminent sur le segment AB des points I et J tels que les distances IA et IB proportionnelles à MA et MB donc que si MA/MB=Cte, IA/IB = Cte, donc M est sur le cercle de diamètre IJ.

    Maintenant que le niveau a beaucoup monté, on peut remarquer que si MA/MB=k, MA²/MB²=k² et il est facile de prendre les coordonnées (x;y) de M, (xA;yA) pour A, (xB;yB) pour B et on trouve bien entendu un cercle.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    isma.lem

    Re : Ensemble de points M tels que...

    Merci bien pour votre réponse, Jean-Paul.
    Y aurait-il d'autres problèmes du même genre ? Ce sont les seuls que je connais, et pour tout vous dire, j'aurais besoin d'en connaître autant de que possibles.

    Merci.

  8. #6
    Jeanpaul

    Re : Ensemble de points M tels que...

    Il y a aussi MA + MB = Cte (ellipse) et MA - MB = Cte (hyperbole), MA²+MB² = Cte (cercle), MA.MB= Cte (lemniscate).
    Les gens se sont bien amusés au cours des siècles avec ça.

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  10. #7
    isma.lem

    Re : Ensemble de points M tels que...

    Merci pour vos indications. Les problèmes que vous y évoquez semblent être les derniers à résoudre pour que je puisse compléter mon cours.
    Auriez-vous des indices de solutions, si ce n'est les solutions entières, pour chacun des cas évoqués ci-dessus ?

    Merci.

  11. #8
    Jeanpaul

    Re : Ensemble de points M tels que...

    La méthode est toujours la même : calculer MA comme la racine de (x - xA)² + (y - yA)² et pareil pour MB.
    On élève l'équation au carré de manière judicieuse et ça donne une équation, souvent du second degré en x et y, ça peut être un cercle, une ellipse ou une hyperbole.
    Parfois c'est plus compliqué (lemniscate).
    Exemple de l'ellipse : MA = 2 L - MB donc MA²=4L² + MB² - 4L MB
    4 L MB = MA² - MB² - 4 L² et on voit que les termes en x² et y² se simplifient.
    On réélève au carré : 16 L² MB² = carré d'un polynôme où il n'y a que des x, des y et des constantes mais ni x², ni y², ni z² donc ça va donner une équation du second degré avec des x², des y² et des xy. Avec un choix judicieux de xA, yA, xB et yB, plus de xy, c'est l'équation classique de l'ellipse : x²/a² + y²/b² = 1

    Fais-le, c'est assez simple.
    Dernière modification par Jeanpaul ; 16/12/2010 à 21h57.

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