Un ensemble de points ...

[invite1d119acf]

Bonjour à tous,

J'ai un DM à faire et le 4ème exercice nous "propose" (à vrai dire on a pas vraiment le choix ) de déterminer les équations de 4 ensembles des points et de les tracer:

Enoncé :
Dans le repère orthonormé (O; i ; j), on considère les points A(-2;-2) , B(7;1), C (-1;5) et M(x;y)

1°) E1 est l'ensemble des points vérifiant AB.AM=30

J'ai alors commencé par projeter le point M sur [AB]. H est le projeté orthogonal de M sur [AB].

AB.AM=30 <=> AB.AH = 30 <=> AB = 30/AB !

Je n'ai pas tellement compris l'intérêt de ce chapitre : Ensemble de points avec AB.AM= k (où je ne comprends pas qu'est ce que k) donc je rame un peu mais bon ...



Si quelqu'un pourrait alors m'éclairer s'il vous plaît sur cet exercice je lui en serait reconnaissant, merci !
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[invitee4ef379f]

Bonjour,

AB.AM=30 <=> AB.AH = 30 <=> AB = 30/AB !

D'où sors tu cela?

Je suis d'accord avec AB.AM = AB.AH = 30, mais qu'est ce qui te permet d'écrire que AB = 30/AB? Cela revient à dire que AB² = 30, ce qui est faux puisque d'après ton énoncé AB² = 90.

Tu devrais te contenter d'écrire le produit scalaire entre AB et AM; cela te donnera une relation entre x et y que vérifieront tous les points M(x,y) tels que AB.AM = 30.

Bon courage!


NB: toutes les quantités en gras sont des vecteurs.

[invite1d119acf]

Désolé je me suis trompé je voulais marquer AH = 30/AB

Dans mon cours l'amorce du calcul de l'ensemble de points M tel que AB.AM=k commence comme cela ...

On connaissais AB donc nous trouvions AH, nous placions alors H et nous tracions la perpendiculaire a AB passant par H, qui était donc l'ensemble des points M ...

N'est-ce pas cela ? Désolé je n'ai pas bien saisi ton explication.

Mathieu"

[invitee4ef379f]

Désolé je me suis trompé je voulais marquer AH = 30/AB

C'est déjà beaucoup mieux.

Dans mon cours l'amorce du calcul de l'ensemble de points M tel que AB.AM=k commence comme cela ...

On connaissais AB donc nous trouvions AH, nous placions alors H et nous tracions la perpendiculaire a AB passant par H, qui était donc l'ensemble des points M ...

C'est une possibilité, mais pourquoi se torturer l'esprit comme cela? Dans le cas présent les coordonnées de A et B sont connues. Le plus simple est donc de prendre les choses comme elles sont présentées: trouve l'expression de AB.AM, égalise la à 30, et vois ce qui en ressort.

Bon courage!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1d119acf]

Merci de ton conseil, j'ai essayé de l'appliquer ...

AB.AM=30 Coordonnées de AB (-9;3)
Coordonnées de AM (x+2; y+2)

-9(x+2) + 3(y+2) = 30
-9x-18+3y+6 = 30
-9x + 3y = 42

3y = 42 + 9x
y= 3x + 14

Suis-je dans le vrai ? Dans le cours nous n'avions jamais calculer une équation d'ensemble de points, seulement on essayait de trouver AH pour tracer ensuite la perpendiculaire à AB par exemple.

[pallas]

AH.AB=k a savoir (voir cours ) si k=0 droite perpendiculaire à AB passant per A si kdiffernt de zero etc ..

[invite1d119acf]

Oui je le sais bien puisque je l'ai mis dans mon premier post cette méthode mais :
Le problème est qu'avec ce chapitre "Produit Scalaire" j'accumule des pseudos-méthodes comme "déterminer l'équation d'un cercle , d'une hauteur, médiatrice etc ...", "Formule d'Al-Kashi" mais les connections entre tout ça et les autres propriétés de ce chapitre ne se font pas, dans un exercice de 6/7 questions je rame donc beaucoup.

Je n'ai pas été là les premiers jours où le chapitre a été commencé en cours donc malgré un rattrapage rapide des leçons et de nombreuses relecture du principe du produit scalaire ça rame en encore là dedans ...

Enfin je m'égare un peu ...

Mon 3ème post montre t-il la bonne équation et la bonne méthode alors ?

[invitee4ef379f]

Bonjour,

Je n'ai pas vérifié les calculs de ton message #5, mais la méthode est là.

D'après l'équation que tu obtiens, qu'est ce que l'ensemble des points qui vérifient AB.AM=30, géométriquement?

[invite1d119acf]

Déjà Plume d'Oeuf merci de cette méthode, je m'y perds énormément dans toutes ces formules de Produit Scalaire (et je déteste ça).

Comme dit précédemment c'est la première fois que l'on doit trouver l'équation d'un ensemble de points. Je ne connaissais donc pas cette technique.
C'est en fait la même que pour trouver l'équation d'une médiatrice en fin de compte ..?

Au fait l'équation que j'ai trouvé au post 5 est fausse. J'ai finalement trouvé : y= -3x+2

Dernière question : Est-ce que la compréhension du produit scalaire en 1ère S (qui de mon côté n'est pas tellement au rendez-vous lorsque que je me retrouve face à un exercice) est primordiale pour la terminale. S'en ressert-on ? A part en Physique ?


Merci beaucoup .

[invitee4ef379f]

Je ne vérifie toujours pas les calculs, mais réitère ma question: que représente géométriquement l'ensemble des points qui vérifient y = -3x+2 ?

Là tu as utilisé le produit scalaire pour trouver ton ensemble de points tout simplement parce que la question posée était de trouver les points vérifiant un produit scalaire! On aurait aussi bien pu te demander de trouver l'ensemble des points M situés à une distance 4 du point A, auquel cas tu aurais écrit l'équation d'un cercle et basta; le produit scalaire ne t'aurait pas servi.

[invite1d119acf]

Ah oui j'avais pas compris ta question dans ton précédent post. Géométriquement cet ensemble de points représente ... ben les points M tel que AB.AM = 30

Mais ce que je comprends pas c'est pourquoi deux vecteurs lorsque qu'on les multiplie (définition du produit scalaire quoi), cela donne un nombre k etc ...

[invitee4ef379f]

Question compréhension du produit scalaire, je vais éclaircir deux trois choses.

Pour faire simple, on appelle un scalaire un nombre, par opposition à un vecteur. Le nom de l'opération "produit scalaire" est donc justifié par le fait que celle ci possède les propriétés du produit (commutativité, distributivité), et donne un scalaire comme résultat.

Point de vue compréhension, on se sert du produit scalaire pour projeter un vecteur sur un autre (mais attention le résultat du produit scalaire n'est pas un vecteur, c'est un nombre liant les vecteurs et la projection de l'un sur l'autre). A postériori, quand deux vecteurs sont orthogonaux, le projeté de l'un sur l'autre est nul, et donc leur produit scalaire est nul.

Au lycée, les principales utilisations du produit scalaire sont de calculer les travaux des forces en physique, et de montrer que deux vecteurs sont orthogonaux/trouver un vecteur orthogonal à un autre en mathématiques.

La signification profonde du produit scalaire est assez difficile à exprimer en terminale. Il s'agit d'une opération qui évalue la "contribution", "l'intensité" d'un vecteur dans la direction portée par l'autre vecteur. Par exemple en physique on peut évaluer la contribution d'un vecteur force sur un axe (dans un sens) donné en faisant le produit scalaire entre le vecteur force et un vecteur unitaire de l'axe en question.

Pour conclure, je te conseille dans un premier temps de bien apprendre la manière de calculer un produit scalaire entre deux vecteurs, et de surtout retenir que le produit scalaire entre deux vecteurs orthogonaux est nul.

Bonne continuation!

[invitee4ef379f]

Ah oui j'avais pas compris ta question dans ton précédent post. Géométriquement cet ensemble de points représente ... ben les points M tel que AB.AM = 30

Non justement, il y a plus fort que ca. L'équation que tu obtiens, c'est l'équation de quelle figure géométrique??

[invite70b6ef65]

Le produit scalaire est un "produit" de deux vecteurs donnant un nombre, c'est sa définition. Après, il est utilisé pour montré par exemple l'orthogonalité de deux vecteurs (ou en physique pour calculer le travail d'une force).
On ne multiplie pas vraiment les vecteurs, mais on leur applique un produit scalaire.

Après, tu n'as pas répondu à la question de Plume d'Oeuf : que représente l'ensemble des points M(x,y) tel que y = -3x+2. Tu as du déjà voir ce genre de chose auparavant. Ou si ça te dis plus : 3x + y - 2 = 0.
Sors toi de ton énoncé pour répondre. Un ensemble de points est un ensemble contenant points (logique non ?), mais là ils sont ordonnés d'une certaine manière.

Si tu trouves toujours pas, tu prends des "x" entre -5 et 5 par exemple, tu calcules le "y" correspondant, et tu places le couple dans un repère orthonormal.

[invite1d119acf]

@Plume d'Oeuf.

Premièrement, c'est l'équation d'une droite ..

Merci, pour ce qui de ce qu'il faut retenir:

Le produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux est nul, cette notion je l'avais déjà intégrée.

La manière de calculer le produit scalaire de deux vecteurs je pense en avoir intégré au moins un minimum, avec Al-Kashi et quelques autres théorèmes ...

@nono212 : "Après, il est utilisé pour montré par exemple l'orthogonalité de deux vecteurs " --> cela oui je le comprends. Pour la question :

Les ensembles de points auxquels nous étions confrontés avant représentaient une droite perpendiculaire à (AB) par exemple. Là c'est une droite qui représente tout les points M tel que AB.AM= 30

Comme je le comprends !

Merci beaucoup à vous, Mathieu !

[invitee4ef379f]

Attention, la droite que tu trouves est bien perpendiculaire à (AB). Mais les vecteurs AB et AM ne sont pas perpendiculaires entre eux! Ce sont les vecteurs HM et AB, où H est le projeté orthogonal de M sur (AB), qui sont perpendiculaires entre eux.

Pour t'en convaincre trace un schéma avec la droite (AB) et la droite d'équation que tu as trouvée.

Autre façon de t'en convaincre: trace une droite (AB) quelconque, trace une autre droite perpendiculaire à (AB) et la coupant en H différent de A. Tu verras bien que les deux droites sont perpendiculaires, mais que pour autant pour tout point M de , les vecteurs AB et AM ne sont pas orthogonaux.

Bonne continuation!