le groupe D_8 des isometries du carre comporte 8 elements : l'identite, les 3 autres rotations, les 2 symetries dont les axes passent par des sommets, et les 2 autres symetries axiales.
chaque symetrie induit une permutation des sommets, donc le groupe se plonge dans S_4.
vu dans S_4, la signature induit un morphisme de D_8 dans le groupe a deux elements -1 et 1.
ce morphisme est surjectif car par exemple les deux symetries qui passent par des sommets induisent une transposition de S_4.
donc le noyau contient 4 elements.
pourtant, j'en compte 3 : l'identite, et les deux symetries axiales dont l'axe ne passe pas par les sommets (elles sont chacune produit de 2 transpositions); les 5 autres elements ont pour signature -1 : les 3 rotations pour induire des cycles d'ordre 4 sur les sommets (donc produit de 3 transpositions) , et les deux symetries axiales passant par des sommets pour induire une transposition.
ou est l'erreur ?....
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