Ou est l'erreur ?
bonjour a tous,
J'ai un petit problème. Je sais que le raisonnement qui suit est faux mais je n'arrive pas a trouver ou est l'erreur.
Y = 0.9999999999....... ( 9 a l'infini ) equivaut à
10Y = 9.999999999...... ( a l'infni) equivaut à
10Y = 9 + Y equivaut à
10Y - Y = 9 equivaut à
9Y = 9 equivaut à
Y = 1
Or, Y est différent de 1.
moi je pense que l'erreur est a la deuxième ligne.
Si quelqu'un pourrait m'éclairer.
Merci
Je dirais plutôt que 'est à la troisième.. mais je ne saurais pas dire pourquoi..
Bonjour,
il n'y a pas d'erreur
0,999999...... = 1
la première écriture n'est pas un développement décimal illimité périodique(bien que la forme y ressemble). Dans un développement décimal illimité périodique, toutes les périodes sont autorisées sauf la période 9
0,191919.... de période 19 est le développement décimal illimité périodique de 19/99
0,777777 ... de période 7 est le développement décimal illimité périodique de 7/9
0,900900900... de période 900 est le développement décimal illimité périodique de 900/999
1,0000... de période 0 est LE développement décimal illimité périodique de 1
0,99999 en est une autre écriture
Ou est l'erreur ? : Gneu ?!?
Heu... je n'ai pas compris... 0.9999 = 1 ?
oui
1 > (ou égal) 0,999999..... > 0,99....9 (je mets n chiffres 9) pour tout entier n non nul donc
1 > (ou égal) 0,99999....> 1 - 10-n pour tout n non nul
et par passage à la limite
1 > (ou égal à) 0,99999.... > (ou égal à) 1
0,9999...... est une autre écriture de 1
en fait, tout nombre rationnel peut s'écrire sous forme décimale illimitée excepté 0.
Non tout nombre peut s'écrire sous forme décimale illimitée, et cette écriture est unique lorsque le nombre est irrationnel...
Salut,
quand tu dis:
10y=9+y, en fait, c'est faux, puisuqe:
10y=9y+y et 9y n'est pas égal à 9.
On assimile 0,99999... et 1.
il ecrit 10y = 9+y car il a y = 0,9 d'où
9+y = 9+0,9 = 9,9 <=> 9+y = 10y
Ben, oui. Si je puis me permettre, je confirme que 0.999999...9 = 1.
Pour s'en convaincre, il suffit de prendre 1/3 = 0.333333...3,
puis de le multiplier par 3,
1 = 3/3 = 0.999999...9.
bonjour,
je veux bien croire que 0.99999...9 = 1( par convention. )
Je trouve que c'est comme meme trés bizarre que 0.99999...9 = 1 puisque qu'on peut rajouter autant de 9 a 0,99...9 il restera inférieur a 1 même s'il s'en approche.
Tu rencontres ce cas dans plusieurs autres domaines...
Dans le cas des limites par exemple :
la limite pour x qui tend vers l'infini de 1/x = 0
Il est certain que tu n'auras jamais un "vrai" zéro vu que c'est impossible d'atteindre l'infini; mais au plus tu prends un nombre élevé au plus tu t'approches de zéro.
C'est comme si tu essayais de trouver une fin à l'infini... Si l'infini était fini (lol), alors je serais d'accord avec toi, 0,999...9 ne vaudrait pas 1.
Il n'y a pas d'erreur, la démonstration est bonne, ils en existent d'autres du reste plus complexes avec des suites, je rechercherai dans mes archives, si je mets la main dessus je la posterai... 0,9 = 1. Il y a eu un précédent fil sur le sujet... Je ne le retrouve pas.
J'ai retrouvé le fil : le fil
bonjour
je pense que l'erreur et à la 2e ligne effectivement
y = 0,99...99
10y = 9,99...90
10y-y = 8,99...91
y = 0,99...99 d'où y =/= 1
il faut placer les chiffres en colonnes, on peut mettre une infinité de 9 à la place des ... le fait de multiplier par 10 ne rajoute pas un 9 à droite mais un 0
Non !
La démonstration est bonne : 0.9 = 1 !
Ca c'est faux... Il y a une infinité de 9.y = 0,99...99
10y = 9,99...90
10y-y = 8,99...91
y = 0,99...99 d'où y =/= 1
il faut placer les chiffres en colonnes, on peut mettre une infinité de 9 à la place des ... le fait de multiplier par 10 ne rajoute pas un 9 à droite mais un 0
10 y = 9.9...
La démonstration est bonne
Il ne faut pas oublier que le nombre de 9 est illimité
Ceux qui pensent qu'elle est erronée de prennent pas en compte que c'est un développement infini.
D'ailleurs, cette méthode est aussi utilisée pour retrouver la fraction ayant engendrée une période.
Exemple simple : une fraction de période 3 :
x = 0.3333...
10x = 3.333...
10x - x = 3
9x = 3
D'où x = 1/3
On prouve bien qu'un nombre infini de période est en fait un nombre bien précis...
Ca me fait d'ailleurs penser au célèbre paradoxe ( du moins je crois ) du coureur à qui il reste tout le temps la moitié du trajet à parcourir : il parcours 50m, il lui reste la moitié de ce qui reste à parcourir, puis 25m, puis 12.5m, etc.... Si on suit cette logique, il n'arrivera jamais au bout, or une fois franchie la ligne il a bien parcouru 100m
a+
Re : Ou est l'erreur ?
Tout nombre réel possède un unique développement décimal illimité propre (c'est à dire sans suite infinie de 9 dans le développement).Envoyé par Quinto
En revanche, les nombres DECIMAUX non nuls sont les nombres qui possèdent 2 développements décimaux illimités.
Un nombre rationnel non décimal ne possède qu'un développement décimal illimité.
1/3 = 0.33...3 (les ... sont à remplacer par autant de 3 que l'on veut, mais une fois fixé ce nombre de 3, il faut le considérer comme constant)
je dirait que 1/3 est la valeur 'exacte' et que 0.33..3 est la valeur 'approchée'
3 x 1/3 = 1
si 1/3 = 0.3 3 x 0.3 = 0.9
si 1/3 = 0.33 3 x 0.33 = 0.99
si 1/3 = 0.33...3 3 x 0.33...3 = 0.99...9
on peut arrondir à 1 d'autant qu'il y a plus de 9
y = 0.3333.... au début
y = 1/3 à la fin mais 1/3 = 0.333.... ce qui est juste !
Recommence la démo avec un nombre fixe de 3 et un calcul exacte
L'erreur provient, me semble-t-il, que l'infini na pas de valeur précise dans ton probléme; dans ma démo, je fixe une valeur précise à l'infini même si cette valeur n'est pas déterminée.
Pour en revenir au probléme initial, si au départ on fixe y=0.999.... (pourquoi ne pas prendre y=1 d'autant qu'il y a une infinité de 9), 10y=9.99....90 avec un 0 à la 'infinité ieme' position aprés la virgule (tandis que toi tu y mets un 9), d'où 9y=8.99...91 avec le 1 à la 'infinité ieme' position aprés la virgule et donc y=0.999..99 et non pas 1
deneb37 tu utilises un vocabulaire assez dangereux je trouve
ça ça n'a pas de sens si tu fixes qq chose tu ne peux plus parler d'infini.je fixe une valeur précise à l'infini
De meme pour:
A un moment tu parles d'arrondi, 1=0.9999.... ces quantités sont exactements équivalenteà la 'infinité ieme' position aprés la virgule
"Un nombre rationnel non décimal ne possède qu'un développement décimal illimité"
Je sais, je n'ai jamais dit que c'était une condition nécessaire et suffisante, mais juste une condition suffisante
Bonne journée.
Tu as raison folky, je me suis mal exprimé. Ce que je voulais dire, c'est qu'il faut se fixer un certain nombre de chiffres significatifs et s'y tenir ensuite. Si 1 000 000 000 de chiffres représente l'infini, alors la précision est de 10^-1 000 000 000 et on effectue les calculs avec ces chiffres, le fait de multiplier par 10 fait entrer un 0 à droite et on abouti à y=0.99...9 comme fixé au départ sinon pourquoi ne pas prendre y=1 dés le départ puisque 0.99.. est équivalent à 1, ce dont je suis d'accord mais alors je ne voit plus de probléme (cf "mais y est différent de 1" dans le prob initial).
Réécrivons le probléme initial: y=0.99...
_ Soit on écrit un nombre fini de 9 et on effectue les calculs avec ces chiffres
_ Soit on écrit une infinité de 9 et il n'y a plus de probléme car on ne pourra pas écrire la seconde ligne.
Comme évoqué plus haut, c'est la même chose avec les limites: si par exemple y=1/x, quand x tend vers l'infini, y tend vers 0 mais y n'est pas égal à 0 (pour qu'il le soit, il faudrait avoir pris y=0/x) mathématiquement; rien ne nous interdit pourtant de considérer y=0 quand celui-ci devient petit.
D'autre part, quand je disait "... à la 'infinité ieme' position...", je me fixais un nombre trés grand (mais fixe) de chiffres significatifs. Un petit détour vers les ensembles transfinis de Cantor serait utile.
hum je suis pas sur de bien comprendre tout ce que tu écris, ceci étant le probleme initiale était de prouver que 1=0.9999... comme tu as écris que tu étais d'accord y a pas de soucis
Justement non, le probléme est que au départ y=0.99... et à la fin y=1 ce qui est contradictoire cf "mais y est différent de 1"
arf ^^
regarde l'autre discussion qu'il y a eu à ce sujet y a toutes les réponses pour te convaincre je pense
Justement non... L'infini a un sens mathématique. La démonstration te prouve que c'est égal... Cherche dans la littérature, il y a plusieurs manière de le démontrer avec des suites, etc.Ce que je voulais dire, c'est qu'il faut se fixer un certain nombre de chiffres significatifs et s'y tenir ensuite
Encore une fois 0.9 = 1. Ce n'est pas une équivalence mais une égalité stricte.
Reprenons la démonstration autrement:
y=0.9
10y=9
9y=8.1
y=0.9
y=0.99
10y=9.9
9y=8.91
y=0.99
y=0.999
10y=9.99
9y=8.991
y=0.999
Continuez jusqu'à l'infini, comme ça.
Comme on le voit, y est toujours différent de 1. La conclusion (y=0.99...) est égale à l'hypothése (y=0.99...). Revoyez l'énoncé du probléme.
Je le répéte, si 0.99...=1, alors pourquoi l'hypothése ne dit pas y=1 tout de suite ?
Que l'on assimile 0.99 à 1 est tout à fait légitime pour les calculs d'autant que l'on rapproche plus de 1.
Pour précision 0,9 est une notation mathématique qui vaut 0,9999... jusqu'à l'infini.
Ca ce n'est pas une démonstration, justement.Reprenons la démonstration autrement:
y=0.9
10y=9
9y=8.1
y=0.9
y=0.99
10y=9.9
9y=8.91
y=0.99
y=0.999
10y=9.99
9y=8.991
y=0.999
Continuez jusqu'à l'infini, comme ça.
Parce que c'est ce qui est démontré : 0,9 = 1.... Ces 2 valeurs sont égales.Je le répéte, si 0,99...=1, alors pourquoi l'hypothése ne dit pas y=1 tout de suite ?
Je ne sais pas comment t'en convainvre, je vais essayer de retrouver les différentes démonstrations (il y en a une de niveau DEUG A ou licence, il me semble) et de les poster.
En fait il y a plein de liens sur le web, parmi ceux-ci : 0.9999.... = 1
Les démonstrations sont vraiment simples... mais vraies.
deneb37 ton erreur c'est de vouloir fixé un nombre de 9, il faut raisonné sur une infinité c'est correct et c'est pour ça que c'est vrai
