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Ou est l'erreur ?



  1. #1
    Caesar

    Question Ou est l'erreur ?

    bonjour a tous,

    J'ai un petit problème. Je sais que le raisonnement qui suit est faux mais je n'arrive pas a trouver ou est l'erreur.

    Y = 0.9999999999....... ( 9 a l'infini ) equivaut à
    10Y = 9.999999999...... ( a l'infni) equivaut à
    10Y = 9 + Y equivaut à
    10Y - Y = 9 equivaut à
    9Y = 9 equivaut à

    Y = 1

    Or, Y est différent de 1.

    moi je pense que l'erreur est a la deuxième ligne.
    Si quelqu'un pourrait m'éclairer.

    Merci

    -----


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  3. #2
    WebDreamer

    Re : Ou est l'erreur ?

    Je dirais plutôt que 'est à la troisième.. mais je ne saurais pas dire pourquoi..

  4. #3
    curieux

    Re : Ou est l'erreur ?

    Bonjour,

    il n'y a pas d'erreur
    0,999999...... = 1

    la première écriture n'est pas un développement décimal illimité périodique(bien que la forme y ressemble). Dans un développement décimal illimité périodique, toutes les périodes sont autorisées sauf la période 9
    0,191919.... de période 19 est le développement décimal illimité périodique de 19/99
    0,777777 ... de période 7 est le développement décimal illimité périodique de 7/9
    0,900900900... de période 900 est le développement décimal illimité périodique de 900/999
    1,0000... de période 0 est LE développement décimal illimité périodique de 1
    0,99999 en est une autre écriture

  5. #4
    WebDreamer

    Question Ou est l'erreur ? : Gneu ?!?

    Heu... je n'ai pas compris... 0.9999 = 1 ?

  6. #5
    curieux

    Re : Ou est l'erreur ?

    oui

    1 > (ou égal) 0,999999..... > 0,99....9 (je mets n chiffres 9) pour tout entier n non nul donc
    1 > (ou égal) 0,99999....> 1 - 10-n pour tout n non nul
    et par passage à la limite
    1 > (ou égal à) 0,99999.... > (ou égal à) 1
    0,9999...... est une autre écriture de 1

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    cotg0

    Re : Ou est l'erreur ?

    en fait, tout nombre rationnel peut s'écrire sous forme décimale illimitée excepté 0.

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  10. #7
    Quinto

    Re : Ou est l'erreur ?

    Non tout nombre peut s'écrire sous forme décimale illimitée, et cette écriture est unique lorsque le nombre est irrationnel...

  11. #8
    Sharp

    Re : Ou est l'erreur ?

    Salut,
    quand tu dis:
    10y=9+y, en fait, c'est faux, puisuqe:
    10y=9y+y et 9y n'est pas égal à 9.
    On assimile 0,99999... et 1.

  12. #9
    prgasp77

    Re : Ou est l'erreur ?

    il ecrit 10y = 9+y car il a y = 0,9 d'où
    9+y = 9+0,9 = 9,9 <=> 9+y = 10y
    --Yankel Scialom

  13. #10
    Gaétan

    Re : Ou est l'erreur ?

    Ben, oui. Si je puis me permettre, je confirme que 0.999999...9 = 1.
    Pour s'en convaincre, il suffit de prendre 1/3 = 0.333333...3,
    puis de le multiplier par 3,
    1 = 3/3 = 0.999999...9.

  14. #11
    Caesar

    Re : Ou est l'erreur ?

    bonjour,

    je veux bien croire que 0.99999...9 = 1( par convention. )

    Je trouve que c'est comme meme trés bizarre que 0.99999...9 = 1 puisque qu'on peut rajouter autant de 9 a 0,99...9 il restera inférieur a 1 même s'il s'en approche.

  15. #12
    MetaLyck

    Re : Ou est l'erreur ?

    Tu rencontres ce cas dans plusieurs autres domaines...

    Dans le cas des limites par exemple :
    la limite pour x qui tend vers l'infini de 1/x = 0
    Il est certain que tu n'auras jamais un "vrai" zéro vu que c'est impossible d'atteindre l'infini; mais au plus tu prends un nombre élevé au plus tu t'approches de zéro.

    C'est comme si tu essayais de trouver une fin à l'infini... Si l'infini était fini (lol), alors je serais d'accord avec toi, 0,999...9 ne vaudrait pas 1.

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  17. #13
    Aether

    Re : Ou est l'erreur ?

    Il n'y a pas d'erreur, la démonstration est bonne, ils en existent d'autres du reste plus complexes avec des suites, je rechercherai dans mes archives, si je mets la main dessus je la posterai... 0,9 = 1. Il y a eu un précédent fil sur le sujet... Je ne le retrouve pas.

  18. #14
    Aether

    Re : Ou est l'erreur ?

    J'ai retrouvé le fil : le fil

  19. #15
    deneb37

    Re : Ou est l'erreur ?

    bonjour
    je pense que l'erreur et à la 2e ligne effectivement
    y = 0,99...99
    10y = 9,99...90
    10y-y = 8,99...91
    y = 0,99...99 d'où y =/= 1
    il faut placer les chiffres en colonnes, on peut mettre une infinité de 9 à la place des ... le fait de multiplier par 10 ne rajoute pas un 9 à droite mais un 0

  20. #16
    Aether

    Re : Ou est l'erreur ?

    Non !
    La démonstration est bonne : 0.9 = 1 !
    y = 0,99...99
    10y = 9,99...90
    10y-y = 8,99...91
    y = 0,99...99 d'où y =/= 1
    il faut placer les chiffres en colonnes, on peut mettre une infinité de 9 à la place des ... le fait de multiplier par 10 ne rajoute pas un 9 à droite mais un 0
    Ca c'est faux... Il y a une infinité de 9.

    10 y = 9.9...

  21. #17
    easythomas

    Re : Ou est l'erreur ?

    La démonstration est bonne
    Il ne faut pas oublier que le nombre de 9 est illimité
    Ceux qui pensent qu'elle est erronée de prennent pas en compte que c'est un développement infini.

    D'ailleurs, cette méthode est aussi utilisée pour retrouver la fraction ayant engendrée une période.
    Exemple simple : une fraction de période 3 :
    x = 0.3333...
    10x = 3.333...
    10x - x = 3
    9x = 3
    D'où x = 1/3
    On prouve bien qu'un nombre infini de période est en fait un nombre bien précis...

    Ca me fait d'ailleurs penser au célèbre paradoxe ( du moins je crois ) du coureur à qui il reste tout le temps la moitié du trajet à parcourir : il parcours 50m, il lui reste la moitié de ce qui reste à parcourir, puis 25m, puis 12.5m, etc.... Si on suit cette logique, il n'arrivera jamais au bout, or une fois franchie la ligne il a bien parcouru 100m

    a+

  22. #18
    doryphore

    Post Re : Ou est l'erreur ?

    Citation Envoyé par Quinto
    Non tout nombre peut s'écrire sous forme décimale illimitée, et cette écriture est unique lorsque le nombre est irrationnel...
    Tout nombre réel possède un unique développement décimal illimité propre (c'est à dire sans suite infinie de 9 dans le développement).

    En revanche, les nombres DECIMAUX non nuls sont les nombres qui possèdent 2 développements décimaux illimités.

    Un nombre rationnel non décimal ne possède qu'un développement décimal illimité.

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  24. #19
    deneb37

    Re : Ou est l'erreur ?

    1/3 = 0.33...3 (les ... sont à remplacer par autant de 3 que l'on veut, mais une fois fixé ce nombre de 3, il faut le considérer comme constant)
    je dirait que 1/3 est la valeur 'exacte' et que 0.33..3 est la valeur 'approchée'
    3 x 1/3 = 1
    si 1/3 = 0.3 3 x 0.3 = 0.9
    si 1/3 = 0.33 3 x 0.33 = 0.99
    si 1/3 = 0.33...3 3 x 0.33...3 = 0.99...9
    on peut arrondir à 1 d'autant qu'il y a plus de 9

    y = 0.3333.... au début
    y = 1/3 à la fin mais 1/3 = 0.333.... ce qui est juste !
    Recommence la démo avec un nombre fixe de 3 et un calcul exacte

    L'erreur provient, me semble-t-il, que l'infini na pas de valeur précise dans ton probléme; dans ma démo, je fixe une valeur précise à l'infini même si cette valeur n'est pas déterminée.
    Pour en revenir au probléme initial, si au départ on fixe y=0.999.... (pourquoi ne pas prendre y=1 d'autant qu'il y a une infinité de 9), 10y=9.99....90 avec un 0 à la 'infinité ieme' position aprés la virgule (tandis que toi tu y mets un 9), d'où 9y=8.99...91 avec le 1 à la 'infinité ieme' position aprés la virgule et donc y=0.999..99 et non pas 1

  25. #20
    folky

    Re : Ou est l'erreur ?

    deneb37 tu utilises un vocabulaire assez dangereux je trouve

    je fixe une valeur précise à l'infini
    ça ça n'a pas de sens si tu fixes qq chose tu ne peux plus parler d'infini.
    De meme pour:
    à la 'infinité ieme' position aprés la virgule
    A un moment tu parles d'arrondi, 1=0.9999.... ces quantités sont exactements équivalente

  26. #21
    Quinto

    Re : Ou est l'erreur ?

    "Un nombre rationnel non décimal ne possède qu'un développement décimal illimité"

    Je sais, je n'ai jamais dit que c'était une condition nécessaire et suffisante, mais juste une condition suffisante

    Bonne journée.

  27. #22
    deneb37

    Re : Ou est l'erreur ?

    Tu as raison folky, je me suis mal exprimé. Ce que je voulais dire, c'est qu'il faut se fixer un certain nombre de chiffres significatifs et s'y tenir ensuite. Si 1 000 000 000 de chiffres représente l'infini, alors la précision est de 10^-1 000 000 000 et on effectue les calculs avec ces chiffres, le fait de multiplier par 10 fait entrer un 0 à droite et on abouti à y=0.99...9 comme fixé au départ sinon pourquoi ne pas prendre y=1 dés le départ puisque 0.99.. est équivalent à 1, ce dont je suis d'accord mais alors je ne voit plus de probléme (cf "mais y est différent de 1" dans le prob initial).
    Réécrivons le probléme initial: y=0.99...
    _ Soit on écrit un nombre fini de 9 et on effectue les calculs avec ces chiffres
    _ Soit on écrit une infinité de 9 et il n'y a plus de probléme car on ne pourra pas écrire la seconde ligne.

    Comme évoqué plus haut, c'est la même chose avec les limites: si par exemple y=1/x, quand x tend vers l'infini, y tend vers 0 mais y n'est pas égal à 0 (pour qu'il le soit, il faudrait avoir pris y=0/x) mathématiquement; rien ne nous interdit pourtant de considérer y=0 quand celui-ci devient petit.
    D'autre part, quand je disait "... à la 'infinité ieme' position...", je me fixais un nombre trés grand (mais fixe) de chiffres significatifs. Un petit détour vers les ensembles transfinis de Cantor serait utile.

  28. #23
    folky

    Re : Ou est l'erreur ?

    hum je suis pas sur de bien comprendre tout ce que tu écris, ceci étant le probleme initiale était de prouver que 1=0.9999... comme tu as écris que tu étais d'accord y a pas de soucis

  29. #24
    deneb37

    Re : Ou est l'erreur ?

    Justement non, le probléme est que au départ y=0.99... et à la fin y=1 ce qui est contradictoire cf "mais y est différent de 1"

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  31. #25
    folky

    Re : Ou est l'erreur ?

    arf ^^
    regarde l'autre discussion qu'il y a eu à ce sujet y a toutes les réponses pour te convaincre je pense

  32. #26
    Aether

    Re : Ou est l'erreur ?

    Ce que je voulais dire, c'est qu'il faut se fixer un certain nombre de chiffres significatifs et s'y tenir ensuite
    Justement non... L'infini a un sens mathématique. La démonstration te prouve que c'est égal... Cherche dans la littérature, il y a plusieurs manière de le démontrer avec des suites, etc.
    Encore une fois 0.9 = 1. Ce n'est pas une équivalence mais une égalité stricte.

  33. #27
    deneb37

    Re : Ou est l'erreur ?

    Reprenons la démonstration autrement:
    y=0.9
    10y=9
    9y=8.1
    y=0.9

    y=0.99
    10y=9.9
    9y=8.91
    y=0.99

    y=0.999
    10y=9.99
    9y=8.991
    y=0.999

    Continuez jusqu'à l'infini, comme ça.

    Comme on le voit, y est toujours différent de 1. La conclusion (y=0.99...) est égale à l'hypothése (y=0.99...). Revoyez l'énoncé du probléme.
    Je le répéte, si 0.99...=1, alors pourquoi l'hypothése ne dit pas y=1 tout de suite ?
    Que l'on assimile 0.99 à 1 est tout à fait légitime pour les calculs d'autant que l'on rapproche plus de 1.

  34. #28
    Aether

    Re : Ou est l'erreur ?

    Pour précision 0,9 est une notation mathématique qui vaut 0,9999... jusqu'à l'infini.
    Reprenons la démonstration autrement:
    y=0.9
    10y=9
    9y=8.1
    y=0.9

    y=0.99
    10y=9.9
    9y=8.91
    y=0.99

    y=0.999
    10y=9.99
    9y=8.991
    y=0.999

    Continuez jusqu'à l'infini, comme ça.
    Ca ce n'est pas une démonstration, justement.

    Je le répéte, si 0,99...=1, alors pourquoi l'hypothése ne dit pas y=1 tout de suite ?
    Parce que c'est ce qui est démontré : 0,9 = 1.... Ces 2 valeurs sont égales.

    Je ne sais pas comment t'en convainvre, je vais essayer de retrouver les différentes démonstrations (il y en a une de niveau DEUG A ou licence, il me semble) et de les poster.

  35. #29
    Aether

    Re : Ou est l'erreur ?

    En fait il y a plein de liens sur le web, parmi ceux-ci : 0.9999.... = 1
    Les démonstrations sont vraiment simples... mais vraies.

  36. #30
    folky

    Re : Ou est l'erreur ?

    deneb37 ton erreur c'est de vouloir fixé un nombre de 9, il faut raisonné sur une infinité c'est correct et c'est pour ça que c'est vrai

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