Ou est l'erreur ?

[Quinto]

Un truc tout bete:
0.00.......1000000.... avec le 1 qui est placé à la ieme place vaut exactement 10^(-i)

Soit (Un)=9*10^(-n)
Soit (Sn)=somme des (Uk) pour k variant de 1 à n

Il est clair que Un est une suite géométrique de raison 1/10 et de 1er terme 9/10.
On a donc (Sn) qui vaut (9/10)*(1-1/10^n)/(1-1/10)
(Sn) est croissante (car (Un) est positive) et est clairement majorée par 1.
On remarqueque la limite de (Sn) est 0.999999999.... d'après la remarque ci dessus, et que d'après ce que l'on sait sur les limites, la limite de cette série est 1.

Donc 0.999999...=1

Voilou
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[invited84210a7]

La bonne reponse est lim n->infini 0.99999 (n zeros) = 1
Ce qui n'est pas synonyme de 0.9999999... = 1
Pierre

[Quinto]

Bien sur que si puisque 0.99999... est égale à la somme d'une série, et la somme d'une série est par définition une limite...

Par définition!!

[ArtAttack]

Ca me fait d'ailleurs penser au célèbre paradoxe ( du moins je crois ) du coureur à qui il reste tout le temps la moitié du trajet à parcourir : il parcours 50m, il lui reste la moitié de ce qui reste à parcourir, puis 25m, puis 12.5m, etc.... Si on suit cette logique, il n'arrivera jamais au bout, or une fois franchie la ligne il a bien parcouru 100m

a+

En fait c'est un archer avec une cible.
Si L est la distance entre l'archer et la cible, la flêche passe par L/2 puis 3L/4 puis 7L/8 puis 15L/16 ...

La flêche n'atteint donc jamais la cible...

[invited84210a7]

En fait, 1-0.999999999 = 0
Donc 0.999999 = 1, donc 0.99999999... est une ecriture abusive.
A+
Pierre

[Aether]

0.999999 = 1, donc 0.99999999... est une ecriture abusive.

Et bien non, c'est une écriture, d'ailleurs ça s'écrit 0,9.

[invited04d42cd]

En fait c'est un archer avec une cible.
Si L est la distance entre l'archer et la cible, la flêche passe par L/2 puis 3L/4 puis 7L/8 puis 15L/16 ...

La flêche n'atteint donc jamais la cible...

Il y a plusieurs versions, mais elles raisonnent toutes sur le même principe

[invitedffbb6ef]

Pour boucler cette discussion :

il y a pas de miracle 0.999999999... = 1 comme 0.3333333...=1/3

pour le demontre prenons Un = 9*10^-n
alors Y=0.99...=lim(somme(Uk, k varie de 1 a n) donc en mulitipliant par 10 et en faisant un petit changement d'indice on obtient
10Y =Y + 9 soit Y=1.

[invited7f426cc]

Le célèbre paradoxe d'Achille évoqué par Easythomas se trouve résolu par l'introduction de la notion mathématique de "limite" :
On suppose que la tortue a 100 m d’avance sur Achille.
V (Tortue) = 1 m/s et V (Achille) = 10m/s
Achille parcourt les 100 m de son retard en 10 s tandis que la tortue avance de 10 m.
Achille mettra 1 s pour parcourir les 10 m tandis que la tortue a avancé d’1 m, et ainsi de suite…

Le temps nécessaire pour rattraper la tortue s’écrit donc :
T = 10 s + 1 s + 1/10 s + 1/100 s, etc.

Ceci est une suite infinie. On peut donc penser qu’Achille ne rattrapera jamais la tortue.

En réalité, il s’agit d’une progression géométrique de raison q = 1/10.

On peut donc écrire sa somme, N étant le nombre infini de termes de cette suite : S = 10 × [ 1- (1/10) ^N ]/ [ 1- (1/10) ]

Or lorsque N tend vers l’infini, (1/10) ^N tend vers 0

Donc lorsque N tend vers l’infini, lim S = 10 / [ 1 - (1/10) ] = 100/9 = 11.111s

Le calcul montre qu’Achille rattrapera la tortue au bout d’environ 11 s 1/9.

Le paradoxe posé dans ce sujet se résout églement de la même façon !

[samanis]

J'espère bien vous fournir une bonne réponse fournie par WIKIPEIA

Développement décimal de l'unité - Wikipédia
http://fr.wikipedia.org/wiki/Développement_décimal_de_l'uni té
Le nombre 0,99999... se répétant à l'infini.
Développement décimal de l'unité
Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Le développement décimal de l'unité est
une curiosité mathématique qualifiée de
paradoxe en raison de son caractère contre intuitif.
Il correspond à l'égalité entre les
deux écritures du développement décimal de
l'unité :

En multipliant par 10, il s'ensuit que :
On procède à une soustraction entre les deux équations précédentes :
A partir de cela, on conclut que :
Explication

Le côté contre-intuitif de ce raisonnement tient au fait que, dans notre esprit, l'écriture
correspond à une suite finie de 9 (c'est-à-dire 0,9999...9). Ainsi la multiplication par 10 puis le résultat de la
soustraction choque l'esprit et semble faux (qui le serait d'ailleurs si la suite de 9 était finie).
Deuxième démonstration (via des fractions)
On pose :
Donc numériquement :
Soit :
Donc numériquement :
En additionnant les deux variables :
Or :
On conclut que :
Troisième démonstration (avec une série)
Formalisation de 0,99999…
Pour une démonstration plus rigoureuse, il faut commencer par définir parfaitement ce qu'est 0,999…
En écrivant 0,99999… = 0,9 + 0,09 + 0,009 + … , on définit 0,99999… comme une série géométrique de
premier terme a = 0,9 et de raison q = 1/10.
Ainsi :

Démonstration par la limite de la série
On peut aisément montrer que la somme des n premiers termes d'une série géométrique de raison q et de
premier terme a vaut :
Cette somme tend vers une limite pour n tendant vers l'infini, si et seulement si q est strictement plus petit que
1, et cette limite est alors :
Ici, a = 0,9, q = 1/10, q est plus petit que 1, donc la limite existe et vaut
Le paradoxe illustré par l'exemple de l'unité est que tout nombre décimal, c'est-à-dire admettant un
développement décimal fini, admet également un développement infini (formé uniquement de 9 à partir d'un
certain rang). Le développement fini est l'écriture propre, celui comportant une infinité de 9 est l'écriture
impropre. Finalement, ce sont les objets apparemment les plus simples en écriture décimale qui offrent les pires
complexités : on croit que 1 est plus simple à écrire en écriture décimale que Pi, et pourtant Pi admet une
écriture unique, alors que 1 en admet deux. (!)
Il est important de se souvenir que l'écriture décimale n'est qu'une des multiples manières de représenter un
nombre en mathématiques.