Séries de fourirer

[inviteebf5b2c4]

bonjour, voici l'exo où je bloque:

Soit f de classe C1 de R dans R, 2PI périodique tq l'int(f(t)dt,0,2PI) = 0

mq l'int(f^2(t)dt, 0,2PI) est inférieur à l'int(f'^2(t)dt,0,2PI)

dans quel cas y a t'il égalité?

J'ai essayé d'utiliser dirichlert et parseval, mais rien n'aboutit.
Pouvez-vous m'éclairer svp? c'est assez urgent!

merci bcp!!
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[Tiky]

Bonjour,

C'est pourtant une application immédiate de l'égalité de Parseval et de la relation entre les coefficients de f et de f'.

[inviteebf5b2c4]

pouvez-vous être plus explicite svp? en utilisant parseval, on a les sommes des coeff an(f) ,an(f') ect, mais comment on obtient l'inégalité?
merci

[Tiky]

Utilise plutôt les coefficients complexes, c'est tellement plus simple. Donc si on note :


L'identité de Parseval nous dit alors que si , alors :


Il reste seulement à trouver une relation entre et pour

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteebf5b2c4]

j'aimerai bien dire que ck(f) <ou= à ck(f') , mais comment le justifier?

[inviteebf5b2c4]

qq peut-t-il m'expliquer les calculs à faire svp? j'ai un exam demain
merci!

[Tiky]

Comme est un nombre complexe, ce n'est pas une inégalité sur lui mais sur son module qu'on cherche.
Tu n'as jamais fait l'exercice consistant à calculer le coefficient de en fonction de celui de lorsque f est (k non-nul) ?
La manipulation à faire pour passer de l'un à l'autre est vraiment élémentaire, cherche un peu.

[inviteebf5b2c4]

"Tu n'as jamais fait l'exercice consistant à calculer le coefficient de en fonction de celui de lorsque f est (k non-nul) ?"
non, jamais vu..
voila ce que j'ai fait:

j'ai |ck(f)|=1/(2PI)int(|f(t)|dt ,0,2PI)
et |ck(f')|=1/(2PI)int(|f'(t)|dt ,0,2PI)

après je doit trouver une relation entre les deux,
|(ck(f))'|=1/(2PI)|f(t)|

[inviteebf5b2c4]

|(ck(f))''|=1/(2PI)|f'(t)|=|int(ck(f'),0,2PI )|

mais j'ai l'impression que l'on a pas le droit de dériver des valeures absolue comme ça..
tu veux pas me dévoiler tes secrets Tiky? j'ai assez chercher

[Tiky]

Non, ce n'est pas la même chose et ...

Bon c'est vraiment pas sorcier. Si k est un entier non-nul, on a que :


Donc car par hypothèse.
Alors par Parseval car f' est dans .

[inviteebf5b2c4]

ok, j'ai compris merci
mais ce n'est pas plutot l'intégrale du module de f au carré qui est égale à la somme des ck ds le 2eme calcul?

dans la deuxième question, pour qu'il y ait égalité, j'ai trouvé:
k=1 >> mais on a une somme de k de -infini à +infini, donc je sais pas si c'est intéressant
ou : f=f' donc f=exp(x)

[Tiky]

Oui dans le deuxième calcul c'est bien l'intégral du module au carré de f.

Pour la condition d'égalité, on a que si et seulement si :
et .
C'est une somme d'éléments positifs qui sont nuls, ils sont donc tous nuls. Donc on doit avoir :


Cela implique que pour tout , . On en déduit que :

Comme f est , elle coïncide avec sa série de Fourier en tout point donc :


C'est-à-dire que f est une combinaison linéaire de cosinus et sinus. La réciproque est facile.

[inviteebf5b2c4]

au dernier calcul,
>f(x) est égale à somme(ck(f)exp(-ikx) : il y a un moins je pense

>j'ai pas compris le -1 de c-1(f)exp..

[Tiky]

Non il n'y a pas de moins et pour le seconde question le -1 est en indice, c'est juste le coefficient de Fourier de f d'indice -1...

[inviteebf5b2c4]

ok, donc tous les coeff sont nuls, sauf celui pour k=1 et -1?

[Tiky]

Oui c'est ce que j'ai écrit effectivement. Enfin pour être précis, tous les coefficients sont nuls sauf peut-être celui d'indice -1 et d'indice 1.