Limite et intégrale.

[invite2ec0a62b]

Bonjour,
considérons une fonction de C1 par morceaux telle que f² soit intégrable. Je voudrais montrer que tend vers 0 , en et en 0.
Pour cela j'utilise l'inégalité de Cauchy Schwarz et le fait que soit majorée (notons M un majorant) pour aboutir à . Mais je ne vois pas comment conclure .
Cordialement.
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[invite2ec0a62b]

Auriez vous quelques bonnes idées ?

[invite2ec0a62b]

Je pense avoir trouvé une solution concernant la limite en , en utilisant le reste intégrale et l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
Reste à savoir en 0...

[invite7ec123bc]

Salut,


J'aurais tenté ça, sans être sûr, pour la limite en ,

étant intégrable, est aussi intégrable par l'inégalité de Cauchy-Schwartz. De plus étant par morceaux, elle est donc en particulier continue sur (où est un segment de . Comme est un compact, et comme f est continue sur , f est bornée sur . Donc

On peut donc écrire:


En faisant tendre vers 0, on voit alors que l'intégrale tend vers 0.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7ec123bc]

Erreur dans mon dernier post: il faut lire

[invite705d0470]

L'égalité de Cauchy Schwarz donne par exemple n'est ce pas ?
Que signifie intégrable ?
Que son intégrale existe au sens de Riemann ? Je pense que non parce que sinon c'est faux, mais du coup je ne peux clairement pas aider puisque je ne comprends même pas l'hypothèse -_-
Mais je suis quand même curieux de savoir !
Si intégrable implique que l'on peut écrire , alors pourquoi ne pas écrire par la suite que à l'infini ?

Enfin, j'espère ne pas trop vous irriter en parlant de quelque chose que je ne maitrise pas trop, et j'espère que vous pourrez m'éclairer moi aussi.

[invite7ec123bc]

Salut Snowey,

Que signifie intégrable ?

Intégrable signifie, en gros, ici que l'intégrale de est définie (ici au sens de Riemann). Tu as plus d'explications, et de définitions précises ici http://fr.wikipedia.org/wiki/Int%C3%A9grabilit%C3%A9 .

alors pourquoi ne pas écrire par la suite que à l'infini ?

Ca me semble marcher quand x tend vers l'infini. J'avais dans mon précédent message traité le cas .

[invite705d0470]

D'accord, mais alors comment étendre cette définition sur ?
Si est bien intégrable sur tout intervalle I, on ne peut pas pour autant en déduire que est bornée ... (puisqu'elle vaut précisément ).
Je dois surement rater quelque chose quant au raisonnement, mais j'ai l'impression qu'il ne " passe pas à la limite" !

Ah, et je tiens aussi à corriger une grosse bourde: l'inégalité de Cauchy Schwarz donne en fait bien .
Du coup le raisonnement à l'infini est faux, et je ne comprends pas celui de sknbernoussi lorsqu'il affirme que la fonction est bornée par M

[inviteea028771]

Je dois surement rater quelque chose quant au raisonnement, mais j'ai l'impression qu'il ne " passe pas à la limite" !

Intégrable veut dire que l'intégrale de sa valeur absolue sur l'ensemble de son domaine de définition est finie.

e^t n'est pas une fonction intégrable (sur R), bien que son intégrale existe pour tout intervalle

Du coup le raisonnement à l'infini est faux, et je ne comprends pas celui de sknbernoussi lorsqu'il affirme que la fonction est bornée par M

Comme ceci :








Bon, ça ne donne pas des masses d'informations pour la question posée (il faut se servir du fait que la fonction est C1 par morceaux et pas juste continue)

[invite705d0470]

Merci beaucoup Tryss