endomorphisme polynome / symétrie orthogonale

[invite3d710e98]

Bonjour,
j'ai un petit problème pour un endomorphisme de .
j'ai un endomorphisme définie par f qui associe P(X) à P(1-X)
j'essaie d'exprimer la matrice A de f dans la base et la matrice B de f dans la base
donc
au polynôme j'associe
au polynôme j'associe
au polynôme j'associe
au polynôme j'associe
au polynôme j'associe



le problème est que le déterminant de A et le déterminant de B sont différent et il me semble que quelque soit la base, le determinant est inchangé.

j'aurais aussi une autre question sur 4 propriétés:

1)soit A la matrice d'une projection alors
2)soit A la matrice d'une projection orthogonal alors et
3)soit A la matrice d'une symétrie alors A^2=Id
4)soit A la matrice d'une symétrie orthogonale alors A^2=Id et (ie )

est ce que ces propriété sont vrai dans n'importe quel base(je suppose que oui pour la projection,par définition) ou est ce qu'elles sont valable dans une base orthogonales uniquement?

merci d'avance
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[invite3d710e98]

je me suis rendu compte que je n'exprimais pas l'image des vecteurs de B dans B mais dans A d'où l'erreur du coup pour que le déterminant reste inchangé il faut que la base de l’ensemble de départ soit la même que celle de l’ensemble d'arrivé? du coup ça résout ma première question

[gg0]

Tu as bien vu le problème. La matrice d'un changement de base n'a pas de raison d'avoir un déterminant égal à 1.

Pour les autres questions, je laisse des meilleurs que moi (c'est assez facile) répondre.

Cordialement.

[taladris]

Je réponds, même si je ne suis pas sûr d'être meilleur que gg0

1) Cela ne dépend pas de la base choisie: si A est la matrice de la projection p, alors puisque , alors .
3) Idem, cela ne dépend pas de la base choisie. Et le raisonnement est analogue.
2) et 4) sont faux et tu peux facilement trouver des contre-exemples.

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]