Proba: Continuité de la fonction de répartition et variable à densité

[invite9daadf4c]

Bonsoir,
Je cherche à caractériser une variable aléatoire continue par la fonction de répartition et l'inverse (fct de repartition => densité)
En voyant mon cours je vois que si la fonction de répartition d'une variable aléatoire est continue et C1 par morceaux alors sa dérivée est une fonction qui est une densité de la variable aléatoire. La variable aléatoire est donc à densité. Mais s'agit-il d'une continuité strict ou par morceaux ? Que veut dire C1 par morceaux ?

Réciproquement, si X est une variable à densité, alors sa fonction de répartition est continue. S'agit-il d'une continuité stricte ?

Merci pour vos éclaircissements!
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[Tiky]

Bonjour,

Une fonction est dite par morceaux sur s'il existe une subdivision de :
telle que pour tout , est sur et peut se prolonger en une fonction sur .

De manière plus général, une fonction définie sur un intervalle de est dite par morceaux sur si elle est par morceaux sur tout segment inclus dans .

Dans ton cours, on dit bien que f est continue ET par morceaux. C'est-à-dire qu'elle est notamment continue en tout point de .

Si maintenant tu considères une variable aléatoire réelle à densité par rapport à la mesure de Lebesgue (si tu sais pas ce que ça signifie, c'est alors le cas), alors la fonction de répartition est continue en tout point.

[invite9daadf4c]

Comment peut-on voir graphiquement qu'une fonction est C1 par morceaux ? Par exemple sur le graphe de la fonction de repartition.
Merci

[Tiky]

Informellement, une fonction est par morceaux si le graphe est la juxtaposition de morceaux de fonctions de classe pris sur des segments.

[A voir en vidéo sur Futura]