Automorphismes orthogonaux

[invite77afed8f]

Bonjour à tous!

Dans un exercice, on me propose de donner la nature précise d'un endomorphisme de E donc la matrice dans une BON directe est :

B = [ 3 1 r(6)
1 3 -r(6)
-r(6) r(6) 2 ]

Avec r(6) racine de 6.

Donc pas de soucis, j'arrive à montrer que c'est une matrice orthogonale.

Je résouds BX=X, X(x;y;z), trouve w = 1/r(2) * le vecteur (1,1,0) comme axe de rotation.

Je choisis u orthogonal à v, j'ai pris u=(0,0,1)

Je choisis v= w^u=1/r(2) * le vecteur (1,-1,0)

tr(B) = 8 = 1+ 2cos(théta) d'où cos(théta)=7/2

Et là, je bloque. Je sais que j'ai affaire à une rotation, mais du coup, il faut que je trouve le signe du sinus, avec la formule sin(théta)=f(u)^v, pour savoir si j'ai un + ou un - Arccos(7/2).

Je ne sais pas comment faire pour trouver f(u).
Pourriez vous m'aider svp?

Cordialement.
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[invite77afed8f]

Arf, personne pour m'expliquer?

[invite77afed8f]

Toujours pas? :S

[sylvainc2]

B n'est pas une rotation, elle n'est pas orthogonale et son déterminant est 64 pas 1. Je suppose que tu voulais dire B/4 car c'est une rotation.

Pour extraire l'angle on fait bien cos(theta)=(trace(B/4)-1)/2, ici ca donne cos(theta)=1/2 pas 7/2.

Pour l'axe il est préférable de faire ceci: (B₃₂-B₂₃, B₁₃-B₃₁, B₂₁-B₁₂). Avec cette méthode on n'a pas besoin d'ajuster le signe de theta. Par contre il y a deux cas spéciaux:
- si theta = 0: c'est la rotation identité, mais dans ce cas n'importe quel vecteur peut servir d'axe.
- si theta = pi: dans ce cas seulement on devrait résoudre BX=X comme tu as fait. Mais il n'y a pas d'ajustement d'angle à faire puisque pi ou -pi c'est la même chose.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite77afed8f]

Merci de ta réponse.

Oui en effet, je voulais dire B/4.

Mais admettons que ma matrice soit plus grande. Ta méthode se généralise-t-elle?

[sylvainc2]

Non ca fonctionne seulement en dimension 3. En dim > 3 il faut résoudre Rv=v pour trouver l'invariant (l'axe, même si c'est plus vraiment un "axe") et il n'existe pas nécessairement.