Équation non linéaire d'ordre 2

[invitec16e9b35]

Bonjour à tous,
Je viens, aujourd'hui, vers vous pour présenter un problème que je n'arrive absolument à résoudre : Une équation différentielle non linéaire d'ordre 2.
Il se trouve que je ne sais comment débuter la résolution, j'ai uniquement réussi à trouver une solution particulière :



Et l'équation à résoudre est la suivante :



J'ai cherché sur le net, mais rien de bien concluant, alors pourriez-vous me mettre sur la piste ?
Merci d'avance
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[invitecb480987]

Je ne peux peut-être pas tout résoudre mais je peux quand même te mettre sur la piste que j'ai trouvée : il faut voir que (on notera y = y(t) par abus de notation) : équivalent à soit donc ainsi on intègre deux fois : où c,d,e,f,g sont des constantes dues à l'intégration.
On simplifie en mettant les constantes ensemble et en ordonnant : Attention ! : les constantes doivent être négatives pour pouvoir rendre l'expression positive pour appliquer la racine, à moins que l'on demande les solutions dans l'ensemble complexe...
On peut peut-être aussi mettre des valeurs absolues... :
Pour ce qui est des " conditions initiales ", je te laisse remplacer et trouver les constantes.
J'ignore si le résultat est bon mais je t'aurais au moins transmis mes idées à ce sujet
Amicalement SyTeK

[Médiat]

Bonjour
Je n'ai pas fait tous les calculs, mais en posant y(t) = (u(t), v(t)),

vous obtenez


et en multipliant ces deux équations respectivement par et puis en additionnant, on trouve quelque chose de facilement intégrable (mais je ne sais pas si cela suffit pour aller au bout).

[invite63e767fa]

Bonjour Rabut2012,
Tu as une solution particuliére qui vérifie bien l'équation différentielle.
De plus, elle satisfait les conditions initiales. C'est donc LA solution. Il n'y a pas à chercher plus loin, à mon avis.
Toutefois, si tu cherches l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (sans condition initiale), je pense qu'il serait plus facile de faire le calcul en coordonnées polaires qu'en coordonnées cartésiennes. Pour cela poser y(t)=( ro(t)*cos(theta(t)) ; ro(t)*sin(theta(t) ) et en déduire les équations différentielles relatives aux fonctions ro(t) et theta(t)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite63e767fa]

Voilà la résolution de l'équation différentielle avec les conditions initiales imposées.

[invitec16e9b35]

Merci à vous tous de votre participation.

• SyteK, je pense qu'il y a une erreur dans tes simplifications et donc que ta résolution est donc inutilisable.
• Mediat, c'est une voie que j'ai essayé de développer sans, malheureusement, d'aboutissement...
• JJacquelin, ta solution était la bonne, merci énormément pour la piste des coordonnées polaires (qui c'est vrai était logique, c'était dans le cadre d'orbites circulaires). En plus, j'ai pu comparé avec ta résolution et c'est donc parfait

Encore merci à tous (tout particulièrement à JJacquelin) et très bonne soirée !