Relation de récurrence linéaire d'ordre 3

[Seirios]

Bonjour à tous,

Dans un calcul de déterminant d'une matrice carrée de taille n, j'ai mis en évidence une relation de récurrence : , et je cherche donc l'expression de en fonction de n, mais je ne vois pas très bien comment m'y prendre.

J'ai essayé d'écrire , mais la puissance n'a pas l'air vraiment aisée à calculer...(j'avais pensé à décomposer la matrice en une somme d'une matrice diagonale et de deux matrices nilpotentes puis d'appliquer le binôme de Newton, mais les matrices ne commutent pas)

Quelqu'un aurait-il une idée ?

Merci d'avance,
Phys2
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[invitec317278e]

Tu peux utiliser les formules générales pour déterminer les racines du polynôme , mais elles ne sont pas simples...

Si c'est un exo de taupe, je doute que l'on s'attende à ce que tu réussisses à résoudre une récurrence linéaire d'ordre 3 dans un cas aussi général : peut être y a t-il plus simple

[invitead1578fb]

Bonjour,

si ta relation de récurrence avait été de la forme

,

Alors le problème aurait été facile à résoudre... L'avais-tu remarqué? Peut-être une erreur de signe venue du ciel?

D'autre part j'ai tenté la résolution du polynôme caractéristique d'ordre 3, mais les solutions exactes sont plus que sordides.

Désolé de ne pas apporter plus d'eau au moulin.

Bonne journée
Blable

[Seirios]

Normalement ma relation de récurrence est correcte (en tout cas elle fonctionnne pour quelques termes), et il est conseillé dans l'énoncé de chercher une relation de récurrence. Je vais tout de même revérifier mes calculs.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite97a92052]

mais la puissance n'a pas l'air vraiment aisée à calculer...(j'avais pensé à décomposer la matrice en une somme d'une matrice diagonale et de deux matrices nilpotentes puis d'appliquer le binôme de Newton, mais les matrices ne commutent pas)

Hello,

Tu as pensé à diagonaliser ta matrice ? Sauf erreur, le polynôme caractéristique se factorise tout seul, donc modulo quelques calculs, calculer une puissance de ta matrice est tout à fait possible... non ?

[invitec317278e]

Sauf erreur, le polynôme caractéristique se factorise tout seul

De quelle manière ? Mathematica m'indique des racines atrocement compliquées

[invite97a92052]

Forcément, j'aurais du mieux lire le topic...
En effet, c'est moi qui ait fait l'erreur de signe, c'est effectivement plus compliqué.

Peut-être y-a-t-il d'autres informations sur Dn que la relation de récurrence ?

[invite899aa2b3]

Peut-on avoir la matrice en question?

[Seirios]

En fait, je m'étais effectivement trompé dans mes calculs La matrice considérée était : , et la relation de récurrence est en fait , donc une relation linéaire d'ordre que l'on sait traiter.

En passant, vous savez comment faire les trois points verticaux dans les matrices en LaTeX ? (et horizontaux, ceux que j'ai mis ne sont pas géniaux...)

[invite57a1e779]

Bonjour,

Pour les points horizontaux : \dots ou \ldots
pour les points verticaux : \vdots

[Seirios]

C'est plus joli comme ça : . Merci