Exercice sur la dérivation MPSI

[Nowotny]

Bonjour,
je me posais un problème sur la justesse de mes arguments dans l'exercice : " Soit f une fonction numérique définie dans R, continue au point 0.
Montrer que f est dérivable en 0 si et seulement si (f(2x)-f(x))/x a une limite finie quand x tend vers 0".

Dans un premier temps, je suppose f dérivable en 0.
je pose alors une application g:R-->R, x--->f(2x)-f(x). C'est là que ce pose mon problème, ai-je le droit de dire que g est dérivable en 0?
Si j'admet ce lemme, je démontre facilement que (f(2x)-f(x))/x a une limite finie quand x tend vers 0.

Réciproquement, je suppose que (f(2x)-f(x))/x a une limite finie quand x tend vers 0, donc il existe un réel L tel que lim(x-->0)( (f(2x)-f(x))/x )=L,
d'où en posant la même application g que précédemment j'obtiens que g est dérivable en 0. Pareil, ai-je le droit de dire que, comme g est uniquement définie à partir de f, f est dérivable en 0?

Merci d'avance pour votre aide,
Cordialement. Nowotny.
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[gg0]

Bonjour.

Dans le premier cas, tu peux justifier facilement la dérivabilité de g à partir des théorèmes sur la dérivabilité et les calculs.
Dans le deuxième, je ne vois pas de théorème qui s'applique.

En tout cas, un "argument" est toujours une application de règles de maths. Si tu n'en as pas qui permette de conclure cet "argument", c'est que c'est une simple affirmation non fondée.

Cordialement.

[gg0]

A noter :

La continuité va intervenir, car si on prend la fonction définie par f(x)=0 si x<0 et f(x)=1 si x>=0, alors (f(2x)-f(x))/x a une limite en 0, puisque c'est la fonction nulle.

[Elie520]

Bonsoir.

Une des deux implications est triviale.

Quant à l'autre, c'est plus subtile : As-tu essayé d'itérer la condition donnée ? en divisant x par 2 à chaque fois, par récurrence, tu obtiens quelques propriétés intéressante.
PS: au lieu de supposer que la limite de la fraction est L, en posant h(x)=f(x)-xL tu peux supposer L=0 (cela simplifie l'écriture.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Nowotny]

Merci pour votre aide
J'ai recommencé l'exo suivant vos conseils

La continuité va intervenir

Je n'arrive pas utiliser la continuité en 0 et l'itérativité. J'ai donc l'impression d'oublier quelque chose.
Voici ce que j'ai fais:
Supposons f dérivable en 0. Posons g: x-->f(2x)-f(x).
f est dérivable en 0 et lim(x-->0)(2x)=0, lim(x-->0)(x)=0.
D'où g est dérivable en 0.
Donc (f(2x)-f(x))/x est définie quand x tend vers 0.

Réciproquement, supposons qu'il existe un réel L tel que lim(x-->0)(((f(2x)-f(x))/x), donc g est dérivable en 0.
Or pour tout réel x, g(x)=f(2x)-f(x).
d'ou g'(x)=2f'(2x)-f'(x), ce qui donne pour x=0 : g'(0)=2f'(0)-f'(0)=f'(0).
Donc f'(0)=g'(0).
C'est ici que j'ai l'impression que la continuité intervient pour conclure mais je ne vois pas comment l'exprimer

[Elie520]

Tout d'abord, attention, si une fonction est derivable EN ZERO, cela ne vous autorise pas a écrire par exemple "g'(x)" sauf si x=0.

Ensuite pour la première partie c'est presque ça.
Quelle est la définition de la derivabilite en 0? Cherchez à transformer le rapport proposé en taux d'accroissement. (indication : faire +f(0)-f(0) ).

Pour la seconde partie (plus dure), avec la simplification que je vous ai proposé, il suffit de montrer que pour tout epsilon>0, il existe delta>0 tel que pour tout |x|<delta, le rapport (f(x)-f(0))/x est inférieur à epsilon en valeur absolue (c'est dans cette parti que la continuité en zéro intervient.

Courage (ce n'est pas un exo facile !)

[gg0]

Bonjour.

Pour la première partie, tui dois bien avoir des théorèmes qui te disent que la somme, le produit, la composée de fonctions dérivables est dérivable. Il te suffit de les utiliser.

Pour la deuxième partie, même si g(x) était supposée dérivable, l'écriture "d'ou g'(x)=2f'(2x)-f'(x)" est fautive si tu ne sais pas déjà que f est dérivable. or c'est ce que tu veux prouver. Et de plus Elie te l'a signalé, on ne sait pas si g(x) est dérivable, on sait seulement que g'(0) existe.

Un exemple de différence dérivable de deux fonctions non dérivables :
On appelle h la fonction qui a x associe 1 si x est rationnel, 0 si x est irrationnel (pas continue, donc pas dérivable) et k(x)=x+h(x). Alors l(x)=k(x)-h(x) est dérivable (k(x)=x), mais ni k, ni h ne le sont.

Cordialement.

[Nowotny]

Pour la seconde partie (plus dure), avec la simplification que je vous ai proposé, il suffit de montrer que pour tout epsilon>0, il existe delta>0 tel que pour tout |x|<delta, le rapport (f(x)-f(0))/x est inférieur à epsilon en valeur absolue (c'est dans cette partie que la continuité en zéro intervient.

Comme je suppose qu'il existe un réel L tels que lim(x-->0) (((f(2x)-f(x))/x)=L, pour tout epsilon>0 il existe alpha>0 tel que pour tout lxl< alpha, le rapport (f(2x)-f(x)-Lx)/x est inférieur à epsilon en valeur absolue.
De là j'obtiens que l(f(2x)-f(x)-Lx)l<ou égal à epsilon*alpha (car alpha>0).
Ensuite je pose h: x-->f(2x)-f(x)-Lx, d'où lim(x-->0)(h(x))=0. Je ne vois vraiment pas comment utilisé la continuité en 0.

[Nowotny]

Des idées? je suis toujours bloqué, Merci d'avance.

[Elie520]

Je t'ai déjà conseille d'iterer en divisant x pas deux a chaque fois. L'as tu fait ? Si oui, écrit ce que ça donne.
La continuité en zéro interviendra après une itération "à l'infini".
Mais avant tout, as tu écrit e que tu cherches à montrer ? Je te l'ai déjà écrit.
Dans ta preuve, à un moment ou à un autre devra intervenir une série géométrique de raison 1/2.

[Nowotny]

Merci, et désolé je ne voulais offenser personne,
donc comme tu me le conseilles, je trouve lim(x-->0)((f(x/2^n)-f(x/2^(n+1)))/(x/2^(n+1))) = L, donc quand je fais tendre n vers l'infini je montre que g -> f(2x)-f(x) est dérivable en 0, cela signifie-t-il que f est nécessairement dérivable en 0?
Merci beaucoup

[Elie520]

Attention, ce n'est toujours pas parce que f(2x)-f(x) est dérivable en zéro que f(x) l'est, cela a déjà été dit et sinon, l'exo n'aurait aucun intérêt ^^

Repars plutôt de ce que je t'ai dit avec epsilon positif.
On suppose aussi L=0.
Par hypothèse, comme tu l'avais écrit, si |x|<alpha (celui que tu t'étais donné), (f(2x)-f(x))/x est inférieur à epsilon.
Mais aussi, x/2 est inférieur à alpha donc (f(x)-f(x/2))/(x/2) est inférieur à epsilon etc... En faisant une combinassent linéaire de toutes ces inégalités, tu obtiendras, PAR CONTINUITÉ EN ZÉRO, le résultat voulu.

[Nowotny]

Je ne sais pas comment te remercier j'avais vaguement eu l'idée mais les valeurs absolues m'avaient dissuadées et en fait non
Juste une petite question pour conclure, on peut bien affirmer que si f'(2x) est définie en 0 alors f'(x) est définie en 0? En vertu de quoi?
Merci encore pour ton aide et ta patience !

[gg0]

Bonsoir.

Tu dis que f'(2x) est défini lorsque x vaut 0, donc f'(0) est défini.

En fait, tu te compliques la vie en parlant de "défini en 0". Il vaut mieux analyser les termes en termes de dérivabilité de fonction. Et donner des noms aux fonctions concernées. Fès que tu parles de f' (par exemple en notant f'(2x)), tu supposes avoir déjà démontré la dérivabilité de f, au moins en une valeur.

Et comme tu n'explicites pas ta preuve, il est possible qu'elle soit encore mal écrite.

Cordialement.

[Nowotny]

Tu dis que f'(2x) est défini lorsque x vaut 0, donc f'(0) est défini.

J'aurais dis que f'(2x) est défini quand x tend vers 0 donc f'(0) est défini, donc f est dérivable en 0.
Merci pour tes précisions

[Elie520]

Es-tu sur d'avoir bien fini ? Pas besoin de regard extérieur ?
Pour ta question, tu vas pouvoir te répondre toi même, en revenant encore et toujours aux définitions. La réponse est oui mais la valeur pas la même, peux tu me dire laquelle alors ?
Enfin : de rien, c'est l'intérêt de tels forums.

[Nowotny]

Es-tu sur d'avoir bien fini ? Pas besoin de regard extérieur ?

C'est gentil, mais ça m'a l'air correct, je fais comme tu me le conseille, j'ai donc une suite téléscopique d'un côté et de l'autre une suite géometrique de raison 1/2 et premier terme epsilon, je fais tendre n vers l'infini et comme f est continu en 0, j'obtiens ce qu'il faut

tu vas pouvoir te répondre toi même

je prendre X=1/2*x et le tour est réglé ?

[gg0]

Pour ma part, je reste dubitatif sur "f'(2x) est défini en 0". Surtout si on n'a nulle part démontré que f est dérivable !!

[Elie520]

Déjà tu a bien fini l'exo, bien joue.
Ensuite c'est presque ça mais reviens aux définitions comme indique.
Si (f(2x)-f(0))/x tend vers L alors (f(x)-f(0))/(x/2)
Aussi. DOnc f est dérivable en zéro mais de dérivée l/2 !

Enfin, gg0 à raison, fais attention à tes notations. Il faut écrire "si g(x)=f(2x) est dérivable en 0 alors..." (tu peux alors interpréter ta question comme la dérivée d'une composée).

[Nowotny]

Encore merci

DOnc f est dérivable en zéro mais de dérivée l/2 !

Juste un truc la dérivée ne vaudrait pas 2L par hasard ?