Exercice sur limites & dérivation (Terminal S)

[inviteca4109f0]

Bonjour j'ai besoin d'aide pour un exo de math...
alors, voilà l'énoncé.
Soit f un fonction définie sur R-{-1} par f(x) = (2x+1)/(x^3+1) ; et g une fonction défnie sur R par g(x) = 4x^3 + 3x²-2.
On admet A l'unique solution dans R pour g(x) = 0.

Question :
Démontrer que f(A) = 2/(3A²)
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[invitee2a279ac]

Bonjour AOI,

On te dit que A est l'unique solution dans R de g(x) = 4x³ + 3x² - 2, tu dois en déduire que g(A) = 0 et donc que 4A³ + 3A² - 2 = 0.
A partir de cette équation, tu exprimes 2A + 1 et A³+1 en fonction de A pour ensuite faire le quotient est tombé sur f(A)!

PS : il faut montrer que A est différent de 0 et de -1 pour pouvoir exprimer 2A+1 d'une part, et pour pouvoir diviser 2A+1 par A³ + 1 d'autre part.

En espérant t'avoir aidé,
Sh0nty

[inviteca4109f0]

Merci pr ta rép Sh0nty, mais jsui tjr bloqué...
j'ai réussi à montrer que A est différent de 0 et de -1 (g déterminer la variation de g et j'ai appliqué le théorème de bijection et j'ai fait l'encadrement de A).

Mais quand tu me dis d'exprimer 2A + 1 et A3+1 en fonction de A à partir de l'équation 4A³ + 3A² - 2 = 0, je dois faire :
4A³ + 3A² - 2 + (2A +1) - (2A +1) = 0, soit 2x +1 = -4x³ - 3x² + 2x + 3
et
4A³ + 3A² - 2 + (A³ + 1) - (A³ + 1) = 0, soit A³ + 1 = -3A³ - 3A² + 3 ?

Si c'est le cas, ça n'arrage pas trop pour faire le quotient...
tu peux détaillé un peu plus stp ?

[invitee2a279ac]

Effectivement, ca n'arrange pas le quotient.
Mais c'est parce que la méthode n'est pas la bonne.

On sait que :
4A³ + 3A² - 2 = 0. En utilisant cette équation, tu ne peux pas "isoler" A³ ?
Il te suffira simplement d'ajouter 1 pour obtenir A³ + 1.
Même raisonnement pour 2A + 1, mais là il va falloir diviser par A et comme tu as prouvé que A était différent de 0, alors c'est possible.

PS : Pour montrer que A était différent de 0 et de -1, il suffisait de calculer g(0) et g(-1) puis il fallait remarquer que c'était différent de 0, donc A ne peut être égale à 0 ou à 1 car il est vérifie g(A) = 0.

Sh0nty

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteca4109f0]

...Finalement j'ai l'impression que je suis vraiment mauvais en math

J'ai essayer avec ta méthode et j'ai refais avec le mien, mais à chaque fois je me retrouve avec une nouvelle équation et il n'y en a aucun qui tient la route...

En fait ça serait bien si on me mettait l'équation directement (je sais ça se fait pas et ça ne me fait pas progresser, mais ça fait des heures que je suis sur la même question et j'ai envie d'avancer un peu à la fin )

[invitee2a279ac]

Je suis tout à fait d'accord avec toi, donc voici la solution que tu vas essayer de retrouver :

Premièrement,
4A³ + 3A² - 2 = 0 => 4A³ = -3A² + 2
=> A³ =
=> A³ + 1 = =

Deuxièmement,
4A³ + 3A² - 2 = 0 => 4A³ + 3A² = 2
=> 4A + 3 = (car A différent de 0)
=> 2A =
=> 2A + 1 =

Comme A est différent de -1, A³ + 1 est différent de 0 donc :

f(A) =
f(A) =
f(A) = = (il faut aussi montrer que A est différent de et car on a 2 - A² au dénominateur)

Voilà, j'éspère que cela va t'aider,
Sh0nty

[inviteca4109f0]

ça y est, je suis tomber sur les mêmes équations que toi, sh0nty ! merci beaucoup.

Pour les autres questions de mon exo (oui j'en ai encore), je me débrouillerai tout seul ^^"

Merci encore !

[invitee2a279ac]

Tout le plaisir est pour moi

Sh0nty